ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Число получает красную отметку, если делится на $3$, синюю — если делится на $4$, зелёную — если делится на $5$. Числа $3$, $4$, $5$ попарно взаимно просты, поэтому число делится на два из них тогда и только тогда, когда делится на их произведение. Значит, карточки бывают четырёх видов:

• только синяя и зелёная — число делится на $20$, но не на $3$;
• только синяя и красная — делится на $12$, но не на $5$;
• только красная и зелёная — делится на $15$, но не на $4$;
• все три отметки — делится на $3\cdot 4\cdot 5=60$.

Других карточек нет: на каждой не меньше двух отметок.

а) Оценка. Посчитаем натуральные числа меньше $200$, у которых не меньше двух отметок (все они больше $1$).

Кратных $60$: $60,120,180$ — три числа.

Кратных $12$: $12,24,\dots ,192$ — их $192:12=16$, из них три кратны $60$, остаётся $13$ чисел только с синей и красной отметками.

Кратных $15$: $15,30,\dots ,195$ — их $195:15=13$, без кратных $60$ остаётся $10$.

Кратных $20$: $20,40,\dots ,180$ — их $180:20=9$, без кратных $60$ остаётся $6$.

Число, кратное двум из чисел $12,15,20$, кратно их наименьшему общему кратному $60$, поэтому эти группы не пересекаются. Всего подходящих чисел меньше $200$:

$$13+10+6+3=32.$$

Числа на карточках различны, значит, карточек с числами меньше $200$ не больше $32$.

Пример. Возьмём все $32$ найденных числа и ещё $28$ кратных $60$ чисел: $240,300,\dots ,1860$. На каждой карточке не меньше двух отметок, все $60$ чисел различны, и ровно $32$ из них меньше $200$.

б) По условию по $k$ карточек каждого из трёх видов с двумя отметками. Других карточек с двумя отметками нет, поэтому на остальных $60-3k$ карточках все три отметки, и эти числа кратны $60$. Пусть $M$ — наибольшее число на карточках.

Найдём, как устроены числа, кратные $20$ и не кратные $3$. Среди чисел $60t+20$, $60t+40$, $60t+60$ на $3$ делится только $60t+60$. Поэтому такие числа по возрастанию:

$$20,40,80,100,140,160,\dots$$

Число с номером $2m$ равно $60m-20=30\cdot 2m-20$, а с номером $2m-1$ равно $60m-40=30(2m-1)-10$. В любом случае число с номером $k$ не меньше $30k-20$.

Оценка. На $k$ карточках стоят различные числа, кратные $20$ и не кратные $3$; наибольшее из них не меньше $k$-го такого числа, то есть $M⩾30k-20$. На $60-3k$ карточках стоят различные числа, кратные $60$; если таких карточек хотя бы одна, наибольшее из них не меньше $60(60-3k)$.

Если $k⩽17$, то $60-3k⩾9$ и $M⩾60\cdot 9=540$.

Если $k⩾18$, то $M⩾30\cdot 18-20=520$.

В любом случае $M⩾520$.

Пример. Возьмём $k=18$, тогда карточек с тремя отметками $60-54=6$:

• три отметки: $60,120,180,240,300,360$;
• синяя и зелёная: $20,40,80,100,140,160,200,220,260,280,320,340,380,400,440,460,500,520$;
• синяя и красная: $12,24,36,48,72,84,96,108,132,144,156,168,192,204,216,228,252,264$;
• красная и зелёная: $15,30,45,75,90,105,135,150,165,195,210,225,255,270,285,315,330,345$.

В каждой строке $18$ чисел (в первой — $6$), и каждое число имеет ровно те отметки, что указаны. Числа из разных строк различны, потому что у них разные наборы отметок. Всего $6+3\cdot 18=60$ карточек, наибольшее число $520$.

в) Карточки с двумя отметками, одна из которых синяя, — это карточки «синяя и зелёная» (число кратно $20$, не кратно $3$) и «синяя и красная» (кратно $12$, не кратно $5$). Их $37$. Остальные $23$ карточки — «красная и зелёная» или с тремя отметками; эти числа кратны $15$.

Среди чисел от $1$ до $60$ кратны $12$ и не кратны $5$ числа $12,24,36,48$, а кратны $20$ и не кратны $3$ — числа $20,40$. Прибавление $60$ не меняет делимости на $3$, $4$ и $5$, так как $60$ делится на каждое из них. Поэтому в каждом блоке $60t+1,\dots ,60t+60$ таких чисел ровно шесть:

$$60t+12,60t+20,60t+24,60t+36,60t+40,60t+48.$$

Оценка. В первых шести блоках, то есть среди чисел от $1$ до $360$, таких чисел $6\cdot 6=36<37$. Значит, хотя бы одно из $37$ чисел больше $360$, а наименьшее такое число больше $360$ — это $360+12=372$. Поэтому наибольшее число на карточках не меньше $372$.

Пример. На $37$ карточках напишем все $36$ таких чисел от $1$ до $360$ и число $372$. На остальных $23$ карточках — числа $15,30,45,\dots ,345$ (это $23$ первых числа, кратных $15$, так как $23\cdot 15=345$).

Проверим условие. У каждого числа, кратного $15$, есть красная и зелёная отметки. Ни одно из них не совпадает с числами первой группы: те не делятся на $15$ (одни не делятся на $3$, другие — на $5$). Кратные $15$ числа, делящиеся на $4$ ($60$, $120$, …), имеют три отметки и в число $37$ не входят. Значит, карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, ровно $37$, а наибольшее число равно $372$.

Ответ: а) $32$; б) $520$; в) $372$.