ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в школе № 1 было $n$ учащихся со средним баллом $A$, а в школе № 2 — $m=51-n$ учащихся со средним баллом $B$. По условию $n⩾2$, $m⩾2$, а $A$ и $B$ — натуральные числа (средние целые, баллы натуральные). Суммы баллов в школах равны $nA$ и $mB$.

Пусть перешёл учащийся, набравший $x$ баллов, $x⩾1$. После перехода в школе № 1 осталось $n-1$ учащихся с суммой $nA-x$, а в школе № 2 стало $m+1$ учащихся с суммой $mB+x$.

а) Нет, не мог. Пусть новый средний балл в школе № 1 равен $2A$:

$$\frac{nA-x}{n-1}=2A\iff nA-x=2An-2A\iff x=A(2-n).$$

Так как $n⩾2$ и $A>0$, правая часть не больше $0$, а $x⩾1$ — противоречие.

Дальше оба средних выросли на $10\%$, то есть стали равны $1,1A$ и $1,1B$. Для школы № 1:

$$\frac{nA-x}{n-1}=1,1A\iff 10nA-10x=11nA-11A\iff 10x=A(11-n).(1)$$

Для школы № 2:

$$\frac{mB+x}{m+1}=1,1B\iff 10mB+10x=11mB+11B\iff 10x=B(m+11)=B(62-n).(2)$$

Из $(1)$ и $x>0$ следует $11-n>0$, то есть $2⩽n⩽10$. Тогда $52⩽62-n⩽60$.

б) Нет, не мог. Пусть $B=1$. Из $(2)$ $10x=62-n$, то есть $62-n$ делится на $10$. Среди чисел от $52$ до $60$ на $10$ делится только $60$, поэтому $n=2$ и $x=6$. Подставим в $(1)$: $60=9A$, и $A=\frac{20}{3}$ — не целое. Противоречие.

в) Оценка. По пункту б) $B\ne 1$. Проверим $B=2$. Из $(2)$ $10x=2(62-n)$, то есть $5x=62-n$, и $62-n$ делится на $5$. Среди чисел от $52$ до $60$ это $55$ и $60$.

Если $62-n=55$, то $n=7$, $x=11$, и из $(1)$ $110=4A$, $A=27,5$ — не целое.

Если $62-n=60$, то $n=2$, $x=12$, и из $(1)$ $120=9A$, $A=\frac{40}{3}$ — не целое.

Значит, $B\ne 2$, и $B⩾3$.

Пример. При $B=3$ из $(2)$ $10x=3(62-n)$, поэтому $62-n$ делится на $10$: $n=2$, $x=18$, а из $(1)$ $180=9A$, $A=20$. Построим пример.

Школа № 1: два учащихся с баллами $18$ и $22$, средний балл $\frac{18+22}{2}=20$. Школа № 2: $49$ учащихся, каждый набрал $3$ балла, средний балл $3$. Всего $51$ учащийся, в каждой школе не меньше двух.

Учащийся с $18$ баллами переходит в школу № 2. В школе № 1 остаётся один учащийся с $22$ баллами, средний балл $22=1,1\cdot 20$. В школе № 2 стало $50$ учащихся с суммой $147+18=165$, средний балл $\frac{165}{50}=3,3=1,1\cdot 3$. Оба средних выросли на $10\%$.

Наименьший первоначальный средний балл в школе № 2 равен $3$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $3$.