ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Будем считать, что пирожное стоит целое число рублей. Петя должен уметь набрать без сдачи любую сумму от $1$ до наибольшей возможной цены из взятых монет.

а) Да, может. Пусть Петя возьмёт $10$ монет по $10$ рублей, одну монету $5$ рублей, две монеты по $2$ рубля и три монеты по $1$ рублю — всего $10+1+2+3=16$ монет.

Покажем, что он оплатит любую цену $n$ от $1$ до $100$. Запишем $n=10q+r$, где $r$ — последняя цифра, $0⩽r⩽9$, а $q⩽10$. Часть $10q$ Петя платит монетами по $10$ рублей (их у него $10$). Остаток $r$ он набирает из монет $1,2,2,5$:

$$1=1,2=2,3=2+1,4=2+2,5=5,6=5+1,7=5+2,8=5+2+1,9=5+2+2.$$

Значит, любую цену до $100$ рублей Петя оплатит без сдачи. (Две лишние рублёвые монеты просто не понадобятся.)

б) Нет, не может. Сначала докажем полезное наблюдение.

Расставим взятые монеты по возрастанию: $c_1⩽c_2⩽\dots ⩽c_n$, и пусть $S_k=c_1+c_2+\dots +c_k$. Если $c_{k+1}>S_k+1$, то цену $S_k+1$ оплатить нельзя: все монеты начиная с $c_{k+1}$ больше этой цены и не годятся, а остальные монеты в сумме дают только $S_k<S_k+1$. Значит, при возможности оплатить нужные цены всегда $c_{k+1}⩽S_k+1$.

Пусть Петя взял $5$ монет и может оплатить любую цену до $25$ рублей. Применим наблюдение шаг за шагом (все цены $S_k+1$ ниже не превосходят $11$, то есть лежат в пределах $25$ рублей):

• $c_1⩽1$, то есть $c_1=1$ (иначе не оплатить цену $1$ рубль), $S_1=1$;
• $c_2⩽S_1+1=2$, значит, $S_2⩽3$;
• $c_3⩽S_2+1⩽4$, а номиналы только $1,2,5,10$, значит, $c_3⩽2$ и $S_3⩽5$;
• $c_4⩽S_3+1⩽6$, значит, $c_4⩽5$ и $S_4⩽10$;
• $c_5⩽10$ (больше номинала нет), значит, $S_5⩽20$.

Все пять монет вместе дают не больше $20$ рублей, и пирожное за $25$ рублей купить нельзя — противоречие.

в) Оценка. Пусть Петя взял $n$ монет и может оплатить любую цену до $100$ рублей. Ясно, что $n⩾4$. Рассуждение пункта б) использовало только цены до $11$ рублей, поэтому и здесь сумма четырёх наименьших монет $S_4⩽10$. Каждая из остальных $n-4$ монет не больше $10$ рублей. Значит, всего у Пети не больше

$$10+10(n-4)=10n-30$$

рублей. Чтобы оплатить цену $100$ рублей, нужно $10n-30⩾100$, откуда $n⩾13$.

Пример. Пусть Петя взял $13$ монет: $1,2,2,5$ и девять монет по $10$ рублей. Цену $n⩽99$ запишем как $n=10q+r$, где $q⩽9$ и $0⩽r⩽9$: часть $10q$ платим десятками, остаток $r$ — монетами $1,2,2,5$ по таблице из пункта а). Цену $100$ рублей Петя платит всеми монетами: $1+2+2+5+9\cdot 10=100$.

Наименьшее количество монет равно $13$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $13$.