ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть Юра записал $k$ чисел, оканчивающихся на $6$, а Оля — $50-k$ чисел, оканчивающихся на $8$. Числа Юры и Оли различны, потому что оканчиваются разными цифрами.

Последняя цифра суммы совпадает с последней цифрой числа

$$6k+8(50-k)=400-2k.$$

Сумма $8282$ оканчивается на $2$, поэтому $400-2k$ оканчивается на $2$, то есть $2k$ оканчивается на $8$. Это бывает, когда $k$ оканчивается на $4$ или на $9$, то есть $k$ даёт остаток $4$ при делении на $5$.

Ещё понадобится оценка снизу. Натуральные числа, оканчивающиеся на $6$, по возрастанию: $6,16,26,\dots$. Если Юра записал $k$ различных таких чисел, то их сумма не меньше суммы $k$ первых чисел этого ряда.

а) Нет, не могло. При равном количестве $k=25$, а $25$ делится на $5$ и не даёт остатка $4$. Иначе: сумма тогда оканчивается так же, как $25\cdot 6+25\cdot 8=350$, то есть на $0$, а не на $2$.

б) Нет, не могло. Сумма $49$ различных чисел, оканчивающихся на $6$, не меньше

$$6+16+\dots +486=\frac{6+486}{2}\cdot 49=246\cdot 49=12054>8282.$$

Уже числа Юры дают сумму больше $8282$ — противоречие.

в) Оценка. Так как $k$ даёт остаток $4$ при делении на $5$, количество чисел Оли $50-k$ даёт остаток $1$, то есть равно $1$, $6$, $11$, $16$, … Исключим первые два значения.

Если у Оли $1$ число, то у Юры $49$ — это невозможно по пункту б).

Если у Оли $6$ чисел, то у Юры $44$ числа, и их сумма не меньше

$$6+16+\dots +436=\frac{6+436}{2}\cdot 44=221\cdot 44=9724>8282$$

— противоречие.

Значит, чисел, оканчивающихся на $8$, не меньше $11$.

Пример. Юра записал $39$ чисел $6,16,\dots ,386$, Оля — $11$ чисел $8,18,\dots ,108$. Всего $50$ различных чисел, их сумма

$$\frac{6+386}{2}\cdot 39+\frac{8+108}{2}\cdot 11=196\cdot 39+58\cdot 11=7644+638=8282.$$

Наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $8$, равно $11$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $11$.