ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Числа, оканчивающиеся на $4$, назовём числами Юры, а оканчивающиеся на $6$ — числами Оли. Числа Юры различны, числа Оли различны, а числа Юры и Оли не совпадают, так как оканчиваются разными цифрами.

Натуральные числа, оканчивающиеся на $4$, по возрастанию: $4,14,24,\dots$; $i$-е из них равно $10i-6$. Оканчивающиеся на $6$: $6,16,26,\dots$; $i$-е равно $10i-4$. Если у Юры $k$ различных чисел, то, расставив их по возрастанию, получим, что $i$-е не меньше $10i-6$. Поэтому сумма чисел Юры не меньше суммы $k$ первых чисел этого ряда. Так же и для Оли.

а) Нет, не могло. Если чисел поровну, то у каждого по $25$. Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому совпадает с последней цифрой числа

$$25\cdot 4+25\cdot 6=250,$$

то есть равна $0$. А число $8182$ оканчивается на $2$ — противоречие.

б) Нет, не могло. Сумма $49$ различных чисел, оканчивающихся на $4$, не меньше суммы $49$ первых таких чисел $4,14,\dots ,484$. Это арифметическая прогрессия с разностью $10$:

$$4+14+\dots +484=\frac{4+484}{2}\cdot 49=244\cdot 49=11956>8182.$$

Уже одни числа Юры дают сумму больше $8182$ — противоречие.

в) Оценка. Пусть у Юры $x$ чисел, у Оли $50-x$. Сумма чисел Юры не меньше

$$4+14+\dots +(10x-6)=\frac{4+(10x-6)}{2}\cdot x=x(5x-1)=5x^2-x.$$

Сумма чисел Оли не меньше суммы $m=50-x$ первых чисел на $6$:

$$6+16+\dots +(10m-4)=\frac{6+(10m-4)}{2}\cdot m=m(5m+1)=(50-x)(251-5x)=5x^2-501x+12550.$$

Общая сумма равна $8182$, поэтому

$$\begin{array}{c}(5x^2-x)+(5x^2-501x+12550)⩽8182,\\ 10x^2-502x+4368⩽0,\\ 5x^2-251x+2184⩽0.\end{array}$$

Дискриминант $251^2-4\cdot 5\cdot 2184=63001-43680=19321=139^2$, корни $\frac{251-139}{10}=11,2$ и $\frac{251+139}{10}=39$. Значит,

$$(x-39)(5x-56)⩽0,11,2⩽x⩽39.$$

Чисел Юры не больше $39$, поэтому чисел Оли не меньше $50-39=11$.

Пример. При $x=39$ оценка обращается в равенство, поэтому берём у каждого наименьшие числа. Юра записал $39$ чисел $4,14,\dots ,384$, Оля — $11$ чисел $6,16,\dots ,106$. Всего $50$ различных чисел, их сумма

$$\frac{4+384}{2}\cdot 39+\frac{6+106}{2}\cdot 11=194\cdot 39+56\cdot 11=7566+616=8182.$$

Наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$, равно $11$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $11$.