ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Так как $45=5\cdot 9$ и числа $5$ и $9$ взаимно просты, число делится на $45$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $5$, и на $9$. Значит, каждое из двух чисел оканчивается на $0$ или $5$, а сумма его цифр делится на $9$.

Цифры $0$ и $5$ есть в наборе по одной. Поэтому одно число оканчивается на $0$, а другое — на $5$.

Сумма всех цифр набора $0+1+2+3+5+7+9=27$. Суммы цифр двух чисел — положительные числа, кратные $9$, в сумме дающие $27$. Значит, это $9$ и $18$ в каком-то порядке.

а) Да, может. Пример: $1935$ и $270$. Использованы цифры $1,9,3,5,2,7,0$ — каждая ровно один раз. Проверим делимость:

$$1935=45\cdot 43,270=45\cdot 6,$$

а сумма $1935+270=2205$.

б) Нет, не может. Оба числа делятся на $45$, поэтому их сумма тоже делится на $45$, а значит, и на $9$. Но сумма цифр числа $3435$ равна $3+4+3+5=15$ и на $9$ не делится, поэтому и $3435$ на $9$ не делится.

в) Оценка. Сначала выясним, у какого числа сумма цифр равна $9$.

Пусть это четырёхзначное число. Если среди его цифр нет нуля, то сумма не меньше $1+2+3+5=11>9$. Значит, ноль есть, а три другие цифры дают в сумме $9$. Цифры $7$ и $9$ не годятся (с любыми двумя другими получится больше $9$), а из $1,2,3,5$ сумму $9$ даёт только тройка $1,3,5$. Итак, четырёхзначное число составлено из $0,1,3,5$, и тогда трёхзначное — из $2,7,9$. Но оно не оканчивается ни на $0$, ни на $5$ — противоречие.

Значит, у четырёхзначного числа сумма цифр $18$, а у трёхзначного — $9$. Найдём, из каких цифр может состоять трёхзначное число. Если в нём есть $0$, две другие цифры дают $9$ — это только $2$ и $7$. Если нуля нет, то цифры $7$ и $9$ не годятся, а из $1,2,3,5$ сумму $9$ даёт только $1,3,5$. Получаем два случая.

Случай 1: трёхзначное число из цифр $0,2,7$. В нём нет пятёрки, поэтому оно оканчивается на $0$: это $270$ или $720$, наибольшее $720$. Четырёхзначное число составлено из $1,3,5,9$ и оканчивается на $5$; наибольшее получится, если остальные цифры поставить по убыванию: $9315$. Сумма не больше $9315+720=10035$.

Случай 2: трёхзначное число из цифр $1,3,5$. Оно оканчивается на $5$: это $135$ или $315$, наибольшее $315$. Четырёхзначное составлено из $0,2,7,9$ и оканчивается на $0$; наибольшее $9720$. Сумма не больше $9720+315=10035$.

В обоих случаях сумма не больше $10035$.

Пример. Числа $9315$ и $720$: использованы цифры $9,3,1,5,7,2,0$, каждая по одному разу, и

$$9315=45\cdot 207,720=45\cdot 16,9315+720=10035.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $10035$.