На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 10, а… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2025 развёрнутое

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 10, а среднее арифметическое шести наибольших равно 30.

a) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 8?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 22?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию:

$a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6} < a_{7} < a_{8} < a_{9} < a_{10} .$

Шесть наименьших — это $a_{1}, \dots, a_{6}$ , шесть наибольших — $a_{5}, \dots, a_{10}$ . По условию их средние равны $10$ и $30$ , значит,

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = 60, a_{5} + a_{6} + \dots + a_{10} = 180.$

Числа натуральные и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего.

а) Нет, не может. Пусть $a_{1} = 8$ . Тогда $a_{2} ⩾ 9$ , $a_{3} ⩾ 10$ , $a_{4} ⩾ 11$ , $a_{5} ⩾ 12$ , $a_{6} ⩾ 13$ и

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} ⩾ 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 63 > 60$

— противоречие.

б) Нет, не может. Сложим два равенства. Числа $a_{5}$ и $a_{6}$ попадут в сумму дважды, остальные — по одному разу:

$60 + 180 = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}) + (a_{5} + a_{6}) .$

Значит, сумма всех десяти чисел равна

$S = 240 - (a_{5} + a_{6}) . (*)$

Если среднее всех чисел равно $22$ , то $S = 220$ и $a_{5} + a_{6} = 20$ . Так как $a_{5} < a_{6}$ , то $2 a_{5} < 20$ , то есть $a_{5} ⩽ 9$ . Числа $a_{1}, \dots, a_{4}$ меньше $a_{5}$ и различны:

$a_{4} ⩽ a_{5} - 1, a_{3} ⩽ a_{5} - 2, a_{2} ⩽ a_{5} - 3, a_{1} ⩽ a_{5} - 4,$

поэтому $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} ⩽ 4 a_{5} - 10 ⩽ 26$ . Тогда

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} ⩽ 26 + 20 = 46 < 60$

— противоречие.

в) Оценка. По формуле $(*)$ сумма $S$ тем больше, чем меньше $a_{5} + a_{6}$ . Докажем, что $a_{5} + a_{6} ⩾ 25$ .

Как и в пункте б), $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} ⩽ 4 a_{5} - 10$ . Поэтому

$60 = (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{5} + a_{6} ⩽ 5 a_{5} + a_{6} - 10,$

откуда $a_{6} ⩾ 70 - 5 a_{5}$ . Разберём два случая.

Если $a_{5} ⩽ 11$ , то $a_{5} + a_{6} ⩾ a_{5} + 70 - 5 a_{5} = 70 - 4 a_{5} ⩾ 70 - 44 = 26$ .

Если $a_{5} ⩾ 12$ , то $a_{6} ⩾ a_{5} + 1 ⩾ 13$ и $a_{5} + a_{6} ⩾ 25$ .

В обоих случаях $a_{5} + a_{6} ⩾ 25$ , значит, $S ⩽ 240 - 25 = 215$ , а среднее арифметическое всех чисел не больше $\frac{215}{10} = 21, 5$ .

Пример. Равенство требует $a_{5} = 12$ , $a_{6} = 13$ . Тогда четыре числа меньше $12$ должны давать в сумме $60 - 25 = 35$ , а четыре числа больше $13$ — сумму $180 - 25 = 155$ . Возьмём набор

$6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 110.$

Числа различны и натуральны. Шесть наименьших: $6 + 8 + 10 + 11 + 12 + 13 = 60$ , среднее $10$ . Шесть наибольших: $12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 110 = 180$ , среднее $30$ . Сумма всех: $60 + 14 + 15 + 16 + 110 = 215$ , среднее $21, 5$ .

Ответ: а) нет; б) нет; в) $21, 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20