ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Общая масса камней $4\cdot 7+9\cdot 22=28+198=226$ т. Если в группе $a$ камней по $7$ т и $b$ камней по $22$ т ($0⩽a⩽4$, $0⩽b⩽9$), то её масса равна $7a+22b$.

Если масса одной группы $X$, то другой $226-X$, и разность масс равна $|226-2X|=2|113-X|$. Значит, разность всегда чётна, а при разности $D$ более лёгкая группа имеет массу $113-\frac{D}{2}$.

Полезное наблюдение: в группе $7a⩽28$, поэтому если масса группы равна $M$, то $22b$ лежит между $M-28$ и $M$.

а) Да, можно. Первая группа: один камень $7$ т и пять камней по $22$ т, масса $7+110=117$ т. Вторая группа: три камня по $7$ т и четыре по $22$ т, масса $21+88=109$ т. Использованы все $4$ камня по $7$ т и все $9$ по $22$ т. Разность $117-109=8$ т.

б) Нет, нельзя. Если массы равны, то каждая группа весит $\frac{226}{2}=113$ т, то есть $7a+22b=113$. Тогда $22b$ лежит между $85$ и $113$. Из чисел $0,22,44,66,88,110,\dots$ туда попадают только $88$ и $110$:

• $b=4$: $7a=113-88=25$ — не делится на $7$;
• $b=5$: $7a=113-110=3$ — не делится на $7$.

Решений нет.

в) Оценка. Разность чётна, поэтому наименьшая положительная разность не меньше $2$. Проверим разности $2$ и $4$.

Разность $2$: лёгкая группа весит $112$ т. Тогда $22b$ лежит между $84$ и $112$, то есть $b=4$ или $b=5$. Получаем $7a=24$ или $7a=2$ — ни то, ни другое не делится на $7$. Невозможно.

Разность $4$: лёгкая группа весит $111$ т. Тогда $22b$ лежит между $83$ и $111$, то есть $b=4$ или $b=5$. Получаем $7a=23$ или $7a=1$ — не делится на $7$. Невозможно.

Значит, положительная разность не меньше $6$.

Пример. Первая группа — пять камней по $22$ т, масса $110$ т. Вторая — остальные: четыре камня по $7$ т и четыре по $22$ т, масса $28+88=116$ т. Разность $116-110=6$ т.

Ответ: а) да; б) нет; в) $6$.