ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $r$ красных чисел и $30-r$ зелёных. Зелёные числа — различные натуральные кратные $3$, поэтому это числа $3g_1<3g_2<\dots$, где $g_1,g_2,\dots$ — различные натуральные. Их сумма не меньше

$$3(1+2+\dots +(30-r))=\frac{3(30-r)(31-r)}{2}.$$

Точно так же сумма красных чисел (различных кратных $7$) не меньше

$$7(1+2+\dots +r)=\frac{7r(r+1)}{2}.$$

а) Да, может. Ключ в том, что красное число может совпадать с зелёным. Если все числа кратны $3$, то красные числа кратны и $3$, и $7$, то есть кратны $21$.

Пример: зелёные числа $3,6,\dots ,87$ (это $3\cdot 1,\dots ,3\cdot 29$ — всего $29$ чисел) и одно красное число $21$. Все $30$ чисел кратны $3$, зелёные различны, красное одно. Сумма

$$3(1+2+\dots +29)+21=3\cdot 435+21=1305+21=1326<1395.$$

б) Нет, не может. Если красное число одно, то зелёных $29$, и их сумма уже не меньше

$$3(1+2+\dots +29)=1305>1067.$$

в) Оценка. Сумма всех чисел не меньше $f(r)=\frac{3(30-r)(31-r)}{2}+\frac{7r(r+1)}{2}$. Вычислим это значение при $r=0,1,\dots ,5$:

$$\begin{array}{cccc}r& \text{Зелёные, не меньше}& \text{Красные, не меньше}& f(r)\\ 0& 1395& 0& 1395\\ 1& 1305& 7& 1312\\ 2& 1218& 21& 1239\\ 3& 1134& 42& 1176\\ 4& 1053& 70& 1123\\ 5& 975& 105& 1080\end{array}$$

Все эти значения больше $1067$, поэтому при $r⩽5$ сумма не может равняться $1067$. Значит, $r⩾6$.

Пример. При $r=6$ наименьшая сумма равна $f(6)=900+147=1047$, до $1067$ не хватает $20$. Увеличим наибольшее красное число $7\cdot 6=42$ до $7\cdot 8=56$ (на $14$) и наибольшее зелёное $3\cdot 24=72$ до $3\cdot 26=78$ (на $6$).

Красные числа: $7,14,21,28,35,56$ — сумма $7(1+2+3+4+5+8)=7\cdot 23=161$.

Зелёные числа: $3,6,\dots ,69$ (это $3\cdot 1,\dots ,3\cdot 23$) и $78$ — их $24$, сумма $3(1+2+\dots +23+26)=3\cdot 302=906$.

Всего $6+24=30$ чисел, зелёные различны и кратны $3$, красные различны и кратны $7$, сумма $161+906=1067$. Значит, $6$ красных чисел быть может.

Ответ: а) да; б) нет; в) $6$.