ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Обозначим числа по кругу $a_1,a_2,\dots ,a_N$, после $a_N$ снова идёт $a_1$.

Шаг 1: кратных $3$ нет. Пусть какое-то число $a_i$ делится на $3$. Сумма четырёх подряд $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$ делится на $3$, поэтому и $a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}$ делится на $3$. Но это сумма трёх подряд идущих чисел — противоречие. Значит, все числа дают при делении на $3$ остаток $1$ или $2$.

Среди чисел от $1$ до $400$ с остатком $1$ — числа $1,4,\dots ,400$, их $134$; с остатком $2$ — числа $2,5,\dots ,398$, их $133$. Всего $267$ чисел, не кратных $3$.

Шаг 2: остатки повторяются через четыре места. Суммы двух соседних четвёрок делятся на $3$, значит, их разность

$$(a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4})-(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3})=a_{i+4}-a_i$$

делится на $3$. Итак, $a_{i+4}$ и $a_i$ дают одинаковые остатки при делении на $3$ для любого $i$.

а) Нет, не может. Все числа различны и не кратны $3$, а таких чисел не больше $400$ всего $267<360$.

б) Нет, не может. Шагая от $a_i$ по кругу через четыре места $37$ раз, получаем, что $a_i$ даёт тот же остаток, что и $a_{i+4\cdot 37}=a_{i+148}$. Так как $148=149-1$, место $i+148$ на круге из $149$ чисел — это место $i-1$. Значит, любые два соседних числа дают одинаковые остатки, то есть все числа дают один и тот же остаток $r$. Тогда сумма трёх подряд даёт тот же остаток, что и $3r$, то есть делится на $3$ — противоречие.

в) Оценка. Так же, как в пункте б), при нечётном $N$ все остатки одинаковы. Если $N=4q+1$, то $a_i$ имеет тот же остаток, что $a_{i+4q}=a_{i-1}$; если $N=4q+3$, то тот же, что $a_{i+4(q+1)}=a_{i+1}$. В обоих случаях соседние числа дают равные остатки, а это, как показано в б), невозможно. Значит, $N$ чётно. Разберём два случая.

$N=4q+2$. Тогда $a_i$ имеет тот же остаток, что $a_{i+4q}=a_{i-2}$, то есть остатки чередуются через одно: $r,s,r,s,\dots$ Сумма четырёх подряд даёт тот же остаток, что $2r+2s=2(r+s)$, поэтому $r+s$ делится на $3$. Это возможно только при $\{r,s\}=\{1,2\}$. Значит, ровно половина чисел даёт остаток $2$.

$N=4q$. Остатки идут блоками по четыре: $r_1,r_2,r_3,r_4,r_1,r_2,\dots$, где каждое $r_j$ равно $1$ или $2$. Сумма $r_1+r_2+r_3+r_4$ лежит от $4$ до $8$ и делится на $3$, значит, равна $6$. Это возможно только при двух единицах и двух двойках. Значит, и здесь ровно половина чисел даёт остаток $2$.

В обоих случаях чисел с остатком $2$ ровно $\frac{N}{2}$, а их всего $133$. Поэтому $\frac{N}{2}⩽133$, $N⩽266$.

Пример. Расставим по кругу по возрастанию все числа от $1$ до $398$, не кратные $3$:

$$1,2,4,5,7,8,\dots ,397,398.$$

Среди чисел от $1$ до $398$ кратных $3$ ровно $132$, поэтому расставлено $398-132=266$ чисел. Все они различны и не больше $400$. Остатки чередуются: $1,2,1,2,\dots ,1,2$, причём после последнего числа $398$ (остаток $2$) идёт первое число $1$ (остаток $1$), так что чередование не нарушается и на стыке.

Любые четыре подряд дают остатки $1,2,1,2$ в каком-то порядке, сумма даёт тот же остаток, что $6$, — делится на $3$. Любые три подряд дают остатки $1,2,1$ или $2,1,2$, сумма даёт тот же остаток, что $4$ или $5$, — не делится на $3$. Значит, $N=266$ достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $266$.