На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2025 развёрнутое

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 18.

a) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 4?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 14?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{10}$ . По условию

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = 6 \cdot 6 = 36, a_{5} + a_{6} + \dots + a_{10} = 6 \cdot 18 = 108.$

Числа натуральные и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего.

а) Нет, не может. Если $a_{1} = 4$ , то $a_{2} ⩾ 5$ , $a_{3} ⩾ 6$ , $a_{4} ⩾ 7$ , $a_{5} ⩾ 8$ , $a_{6} ⩾ 9$ , и

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} ⩾ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39 > 36.$

Противоречие.

б) Нет, не может. Сложим две известные суммы. Числа $a_{5}$ и $a_{6}$ входят в обе, поэтому

$36 + 108 = (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}) + (a_{5} + a_{6}),$

то есть сумма всех десяти чисел равна

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 144 - (a_{5} + a_{6}) .$

Если среднее равно $14$ , то сумма всех чисел равна $140$ , и $a_{5} + a_{6} = 4$ . Но $a_{5} ⩾ 5$ , $a_{6} ⩾ 6$ , поэтому $a_{5} + a_{6} ⩾ 11$ . Противоречие.

в) Среднее всех чисел равно $\frac{144 - ( a _{5} + a _{6} )}{10}$ . Оно тем больше, чем меньше $a_{5} + a_{6}$ .

Оценка. Докажем, что $a_{5} + a_{6} ⩾ 17$ . Предположим, что $a_{5} + a_{6} ⩽ 16$ . Так как $a_{5} < a_{6}$ , то $2 a_{5} < a_{5} + a_{6} ⩽ 16$ , откуда $a_{5} ⩽ 7$ . Числа $a_{1}, \dots, a_{4}$ меньше $a_{5}$ и различны, поэтому $a_{4} ⩽ a_{5} - 1$ , $a_{3} ⩽ a_{5} - 2$ , $a_{2} ⩽ a_{5} - 3$ , $a_{1} ⩽ a_{5} - 4$ , и

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} ⩽ 4 a_{5} - 10 ⩽ 4 \cdot 7 - 10 = 18.$

Тогда $a_{1} + \dots + a_{6} ⩽ 18 + 16 = 34 < 36$ — противоречие. Значит, $a_{5} + a_{6} ⩾ 17$ , сумма всех чисел не больше $144 - 17 = 127$ , а среднее не больше

$\frac{127}{10} = 12, 7.$

Пример. Возьмём $a_{5} = 8$ , $a_{6} = 9$ . Тогда $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 36 - 17 = 19$ при $a_{4} ⩽ 7$ : подходят $1, 5, 6, 7$ . Далее $a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} = 108 - 17 = 91$ при $a_{7} ⩾ 10$ : подходят $10, 11, 12, 58$ . Получаем набор

$1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 58.$

Проверим. Числа различные натуральные. Шесть наименьших: $1 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 36$ , среднее $6$ . Шесть наибольших: $8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 58 = 108$ , среднее $18$ . Сумма всех чисел $127$ , среднее $12, 7$ . Значит, значение $12, 7$ достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $12, 7$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20