В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом сложная развёрнутое

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше 5?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Все записываемые числа — натуральные от $1$ до $5$ . Поэтому если в какой-то день записано $c$ чисел, то их сумма не меньше $c$ и не больше $5 c$ .

а) Да, может. Будем каждый день заменять несколько чисел предыдущего дня другими: новых чисел на одно меньше, а их сумма на $1$ больше. Например, три единицы ( $3$ ) заменяем на две двойки ( $4$ ). Получается $7$ дней:

$День 1234567 Числа 13 единиц 10 единиц, 2 двойки 7 единиц, 4 двойки 4 единицы, 6 двоек 1 единица, 8 двоек 6 двоек, 2 тройки 2 двойки, 5 троек Количество 13121110987 Сумма 13141516171819$

Все числа меньше $6$ , каждый день количество чисел уменьшается на $1$ , а сумма увеличивается на $1$ . Значит, $n = 7 > 5$ возможно.

б) Да, может. Идея: в первый день много чисел со средним чуть меньше $3$ , а потом пара дней почти из одних пятёрок. Пример:

$День 123 Числа 10 троек, 1 двойка 4 пятёрки, 6 четвёрок 9 пятёрок Количество 11109 Сумма 324445$

Проверим условия. Все числа меньше $6$ . Количество чисел убывает: $11 > 10 > 9$ , сумма растёт: $32 < 44 < 45$ .

Среднее арифметическое первого дня $\frac{32}{11} < 3$ , так как $32 < 33$ .

Всего записано $11 + 10 + 9 = 30$ чисел с суммой $32 + 44 + 45 = 121$ . Среднее арифметическое всех чисел $\frac{121}{30} > 4$ , так как $121 > 120$ .

в) Пусть было $n$ дней, в $k$ -й день записано $c_{k}$ чисел с суммой $s_{k}$ . По условию $c_{1} > c_{2} > \dots > c_{n} ⩾ 1$ , $s_{1} < s_{2} < \dots < s_{n}$ , $s_{1} = 6$ .

Каждое число не меньше $1$ , поэтому $c_{1} ⩽ s_{1} = 6$ . Количества — убывающие натуральные числа, каждое следующее хотя бы на $1$ меньше предыдущего, поэтому $c_{k} ⩽ 6 - (k - 1) = 7 - k$ . В частности, в последний день $c_{n} ⩽ 7 - n$ и

$s_{n} ⩽ 5 c_{n} ⩽ 5 (7 - n) .$

Суммы растут хотя бы на $1$ в день, поэтому $s_{k} ⩽ s_{n} - (n - k)$ .

Сколько может быть дней. Если $n ⩾ 6$ , то $c_{6} ⩽ 1$ и $s_{6} ⩽ 5 < 6 = s_{1}$ , а должно быть $s_{6} > s_{1}$ . Значит, $n ⩽ 5$ .

Оценка суммы при каждом $n$ .

$n = 1$ : сумма равна $6$ .
$n = 2$ : $s_{2} ⩽ 5 \cdot 5 = 25$ , сумма не больше $6 + 25 = 31$ .
$n = 3$ : $s_{3} ⩽ 5 \cdot 4 = 20$ , $s_{2} ⩽ 19$ , сумма не больше $6 + 19 + 20 = 45$ .
$n = 4$ : $s_{4} ⩽ 5 \cdot 3 = 15$ , $s_{3} ⩽ 14$ , $s_{2} ⩽ 13$ , сумма не больше $6 + 13 + 14 + 15 = 48$ .
$n = 5$ : $s_{5} ⩽ 5 \cdot 2 = 10$ , $s_{4} ⩽ 9$ , $s_{3} ⩽ 8$ , $s_{2} ⩽ 7$ , сумма не больше $6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40$ .

Во всех случаях сумма всех чисел не больше $48$ .

Пример. Четыре дня:

$День 1234 Числа 1, 1, 1, 1, 1, 1 5, 2, 2, 2, 2 5, 5, 2, 2 5, 5, 5 Количество 6543 Сумма 6131415$

Все числа меньше $6$ , количество убывает, сумма растёт, в первый день сумма $6$ . Всего $6 + 13 + 14 + 15 = 48$ , значит, значение $48$ достигается.

Ответ: а) да; б) да; в) $48$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20