Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2021 развёрнутое

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.

а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420?

б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?

в) Сколько существует таких троек чисел, что первое число — трёхзначное, а последнее равно 5?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим числа $n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ , а сумму цифр числа $n$ — через $S (n)$ . По условию $n_{2} = S (n_{1})$ , $n_{3} = S (n_{2})$ .

Ключевой факт. Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на $9$ . Действительно, если $n = a_{k} \dots a_{1} a_{0} = a_{k} \cdot 1 0^{k} + \dots + a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ , то

$n - S (n) = a_{k} (1 0^{k} - 1) + \dots + a_{1} \cdot (10 - 1),$

а каждое число $1 0^{i} - 1 = 99 \dots 9$ делится на $9$ . Значит, $n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ дают одинаковые остатки при делении на $9$ , а потому и при делении на $3$ .

а) Да, может. Пример: $407$ , $11$ , $2$ . Здесь $S (407) = 4 + 0 + 7 = 11$ , $S (11) = 1 + 1 = 2$ , числа различны, и

$407 + 11 + 2 = 420.$

Как найти пример. Если $n_{1} < 100$ , то сумма не больше $99 + 18 + 9 < 420$ , значит, $n_{1}$ трёхзначное: $n_{1} = 100 a + 10 b + c$ , и $a ⩽ 4$ , так как $n_{1} < 420$ . Второе число $n_{2} = a + b + c ⩽ 27$ должно быть двузначным, иначе $n_{3} = S (n_{2}) = n_{2}$ : $n_{2} = 10 d + e$ , $d ⩾ 1$ , $n_{3} = d + e$ . Подставив $c = 10 d + e - a - b$ , получим

$n_{1} + n_{2} + n_{3} = 99 a + 9 b + 21 d + 3 e .$

При $a = 4$ равенство $= 420$ даёт $3 b + 7 d + e = 8$ , откуда $d = 1$ , $b = 0$ , $e = 1$ , то есть $n_{2} = 11$ и $c = 11 - 4 - 0 = 7$ .

б) Нет, не может. Пусть все три числа дают при делении на $3$ остаток $r$ : $n_{1} = 3 k_{1} + r$ , $n_{2} = 3 k_{2} + r$ , $n_{3} = 3 k_{3} + r$ . Тогда

$n_{1} + n_{2} + n_{3} = 3 (k_{1} + k_{2} + k_{3} + r)$

делится на $3$ . А у числа $419$ сумма цифр $14$ , на $3$ оно не делится.

в) Тройка однозначно определяется первым числом: $n_{2} = S (n_{1})$ , $n_{3} = S (n_{2})$ . Поэтому нужно сосчитать трёхзначные числа $n_{1}$ , для которых $S (S (n_{1})) = 5$ и все три числа различны.

По ключевому факту $n_{1}$ даёт тот же остаток при делении на $9$ , что и $n_{3} = 5$ , то есть $n_{1} = 9 k + 5$ .

Обратно, пусть $n_{1}$ трёхзначное и даёт остаток $5$ при делении на $9$ . Тогда $S (n_{1})$ лежит от $1$ до $9 + 9 + 9 = 27$ и тоже даёт остаток $5$ , то есть $S (n_{1}) \in {5, 14, 23}$ . Во всех трёх случаях $S (S (n_{1})) = 5$ . Если $S (n_{1}) = 14$ или $23$ , то числа $n_{1} ⩾ 100$ , $n_{2}$ и $n_{3} = 5$ различны — тройка подходит. Если $S (n_{1}) = 5$ , то $n_{2} = n_{3} = 5$ — тройка не подходит.

Итак, искомое количество равно количеству трёхзначных чисел вида $9 k + 5$ минус количество трёхзначных чисел с суммой цифр $5$ .

Трёхзначные числа вида $9 k + 5$ :

$100 ⩽ 9 k + 5 ⩽ 999 \Leftrightarrow 95 ⩽ 9 k ⩽ 994 \Leftrightarrow 11 ⩽ k ⩽ 110,$

их $110 - 11 + 1 = 100$ (от $104$ до $995$ ).

Трёхзначные числа с суммой цифр $5$ переберём по первой цифре $a$ (от $1$ до $5$ ), остальные две цифры дают в сумме $5 - a$ :

$a = 5$ : $500$ — одно число;
$a = 4$ : $401$ , $410$ — два;
$a = 3$ : $302$ , $311$ , $320$ — три;
$a = 2$ : $203$ , $212$ , $221$ , $230$ — четыре;
$a = 1$ : $104$ , $113$ , $122$ , $131$ , $140$ — пять.

Всего $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ чисел. Значит, подходящих троек $100 - 15 = 85$ .

Ответ: а) да; б) нет; в) $85$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20