ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Среднее арифметическое $m$ чисел целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на $m$. Значит, сумма любых трёх чисел делится на $3$, любых четырёх — на $4$, любых пяти — на $5$, любых шести — на $6$.

Лемма. При $m\in \{3,4,5,6\}$ все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на $m$.

Возьмём любые два числа $a$ и $b$ с доски. Кроме них на доске ещё $8$ чисел, выберем среди них любые $m-1⩽5$ чисел $c_1,\dots ,c_{m-1}$. Суммы

$$a+c_1+\dots +c_{m-1}\text{и}b+c_1+\dots +c_{m-1}$$

обе делятся на $m$, поэтому их разность $a-b$ тоже делится на $m$. Значит, $a$ и $b$ дают одинаковые остатки при делении на $m$.

Найдём остатки числа $30032$. Сумма цифр $3+0+0+3+2=8$, поэтому остаток при делении на $3$ равен $2$. Последние две цифры $32$ делятся на $4$, поэтому остаток при делении на $4$ равен $0$. Последняя цифра $2$, поэтому остаток при делении на $5$ равен $2$. Наконец, $30032=6\cdot 5005+2$, остаток при делении на $6$ равен $2$.

По лемме каждое число $x$ на доске даёт остаток $2$ при делении на $3$, остаток $0$ при делении на $4$ и остаток $2$ при делении на $5$.

а) Нет, не может. Сумма цифр числа $312$ равна $6$, поэтому оно делится на $3$ (остаток $0$), а все числа на доске дают при делении на $3$ остаток $2$.

б) Нет, не может. Пусть на доске есть числа $a$ и $6a$. Число $6a$ делится на $3$ (остаток $0$), а должно давать остаток $2$. Противоречие.

в) Оценка. Пусть на доске есть числа $a$ и $na$, где $n$ — целое. Числа натуральные и различные, поэтому $n⩾2$.

Сравним остатки при делении на $3$. Число $a$ даёт остаток $2$: $a=3p+2$. Тогда $na=3np+2n$, и $na$ даёт тот же остаток, что и $2n$. Этот остаток должен быть равен $2$, значит, $2n-2=2(n-1)$ делится на $3$. Числа $2$ и $3$ взаимно просты, поэтому $n-1$ делится на $3$.

Точно так же при делении на $5$: $a=5q+2$, $na=5nq+2n$, и $2(n-1)$ должно делиться на $5$, то есть $n-1$ делится на $5$.

Итак, $n-1$ делится на $3$ и на $5$, то есть на $15$. Так как $n-1⩾1$, получаем $n-1⩾15$, $n⩾16$. В частности, ни одно из значений $n=2,3,\dots ,15$ невозможно.

Пример. Возьмём числа

$$152,272,392,512,632,752,872,992,2432,30032.$$

Все они различны, и $2432=16\cdot 152$. Каждое из них имеет вид $60s+32$:

$$152=60\cdot 2+32,272=60\cdot 4+32,\dots ,992=60\cdot 16+32,2432=60\cdot 40+32,30032=60\cdot 500+32.$$

Число $60$ делится на $3$, $4$, $5$ и $6$, поэтому при делении на любое $m\in \{3,4,5,6\}$ все десять чисел дают тот же остаток $r$, что и $32$. Сумма любых $m$ из них даёт тот же остаток, что и $m\cdot r$, а $m\cdot r$ делится на $m$. Значит, сумма любых $m$ чисел делится на $m$, и среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел целое. Все условия выполнены, и $n=16$ достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $16$.