ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть трёхзначное число равно $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a$, $b$, $c$ — цифры, $a\ne 0$. Его сумма цифр равна $a+b+c$, и в результате операции получается

$$\frac{(100a+10b+c)-(a+b+c)}{3}=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b.$$

Сделаем два вывода: результат всегда делится на $3$, так как $33a+3b=3(11a+b)$; результат не зависит от последней цифры $c$.

а) Да, могло. Нужно $33a+3b=180$, то есть $11a+b=60$. Так как $0⩽b⩽9$, получаем $a=5$, $b=5$. Возьмём, например, число $550$: его сумма цифр равна $10$, и

$$\frac{550-10}{3}=\frac{540}{3}=180.$$

б) Нет, не могло. Результат операции равен $3(11a+b)$ и делится на $3$. Сумма цифр числа $134$ равна $8$, поэтому $134$ на $3$ не делится.

в) Результат $33a+3b$ определяется первыми двумя цифрами числа $a$ и $b$. У чисел от $300$ до $699$ первая цифра $a\in \{3,4,5,6\}$, вторая $b$ — любая из $10$ цифр: это $4\cdot 10=40$ пар $(a;b)$. Ещё одна пара $(7;0)$ — у числа $700$. Всего $41$ пара, поэтому различных результатов не больше $41$.

Докажем, что разные пары дают разные результаты. Пусть $33a+3b=33x+3y$ для цифр $a$, $b$, $x$, $y$. Тогда

$$33(a-x)=3(y-b)\iff 11(a-x)=y-b.$$

Левая часть делится на $11$, значит, и правая тоже. Но $y-b$ — разность двух цифр, она лежит от $-9$ до $9$, и из таких чисел на $11$ делится только $0$. Значит, $y=b$, а тогда $11(a-x)=0$ и $a=x$. Итак, разным парам соответствуют разные результаты, и различных чисел получается ровно $41$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $41$.