ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Да, можно. Найдём исходную пару $(a;b)$ из системы

$$\{\begin{array}{l}3a+b=5,\\ a+3b=-1.\end{array}$$

Сложим уравнения: $4a+4b=4$, то есть $a+b=1$. Вычтем это из первого уравнения: $2a=4$, $a=2$, тогда $b=-1$.

Проверка: из пары $(2;-1)$ получается пара

$$(3\cdot 2+(-1);3\cdot (-1)+2)=(5;-1).$$

б) Да, верно. Пусть пара $(c;d)$ получена из пары целых чисел $(x;y)$, то есть $c=3x+y$ и $d=3y+x$. Тогда

$$c-d=(3x+y)-(3y+x)=2x-2y,d-c=2y-2x.$$

Применим операцию к паре целых чисел $(x-y;y-x)$:

$$(3(x-y)+(y-x);3(y-x)+(x-y))=(2x-2y;2y-2x)=(c-d;d-c).$$

Значит, пара $(c-d;d-c)$ тоже получается с помощью операции.

в) Оценка. Если пара $(c;d)$ получена из пары $(a;b)$, то

$$c+d=(3a+b)+(3b+a)=4(a+b),$$

то есть сумма $c+d$ делится на $4$. Число $9+1=10$ на $4$ не делится, ближайшие к нему числа, кратные $4$, — это $8$ и $12$. Поэтому

$$|10-(c+d)|⩾2.$$

Обозначим $u=|9-c|$ и $v=|1-d|$ — это неотрицательные целые числа. По неравенству для модуля суммы $|p|+|q|⩾|p+q|$

$$u+v=|9-c|+|1-d|⩾|(9-c)+(1-d)|=|10-(c+d)|⩾2.$$

Если $u⩾1$ и $v⩾1$, то $u^2+v^2⩾1+1=2$. Если одно из чисел равно нулю, то другое не меньше $2$, и $u^2+v^2⩾4$. В любом случае

$$\sqrt{(9-c{)}^2+(1-d{)}^2}=\sqrt{u^2+v^2}⩾\sqrt{2}.$$

Пример. Из пары $(3;-1)$ получается пара

$$(3\cdot 3+(-1);3\cdot (-1)+3)=(8;0).$$

Расстояние от неё до пары $(9;1)$ равно

$$\sqrt{(9-8{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.$$

Значит, наименьшее расстояние равно $\sqrt{2}$.

Ответ: а) да; б) да; в) $\sqrt{2}$.