ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Запишем два факта о $k$ последовательных натуральных числах.

Факт 1. Если среди них $p$ чисел, кратных $29$, то соседние такие числа отличаются на $29$, поэтому от первого до последнего из них включительно идёт $29(p-1)+1$ чисел. Значит, $k⩾29(p-1)+1$.

Факт 2. Разобьём числа, начиная с первого, на блоки по $25$ подряд идущих чисел (сколько получится полных блоков). В каждом блоке ровно одно число, кратное $25$. Если $k⩾25q$, то полных блоков не меньше $q$, и чисел, кратных $25$, не меньше $q$. Поэтому если чисел, кратных $25$, ровно $a$, то $k⩽25a+24$: иначе $k⩾25(a+1)$ и таких чисел было бы хотя бы $a+1$.

а) Да, могло. Пример: числа $29,30,\dots ,116$. Среди них кратны $29$ четыре числа: $29$, $58$, $87$, $116$. Кратны $25$ три числа: $50$, $75$, $100$. Так как $3<4$, условие выполнено.

б) Нет, не могло. Предположим, что чисел, кратных $25$, ровно $10$. Тогда чисел, кратных $29$, не меньше $11$, и по факту 1

$$k⩾29\cdot 10+1=291.$$

Но $291=25\cdot 11+16$, поэтому среди этих чисел есть $11$ полных блоков по $25$ чисел, и по факту 2 чисел, кратных $25$, не меньше $11$. Противоречие.

в) Оценка. Пусть чисел, кратных $25$, ровно $a$. Тогда чисел, кратных $29$, не меньше $a+1$. По факту 1 $k⩾29a+1$, по факту 2 $k⩽25a+24$. Значит,

$$29a+1⩽25a+24\iff 4a⩽23\iff a⩽5\frac{3}{4}.$$

Число $a$ целое, поэтому $a⩽5$. Тогда

$$k⩽25a+24⩽25\cdot 5+24=149.$$

Пример. Возьмём числа $26,27,\dots ,174$. Их ровно $174-26+1=149$. Кратны $29$ числа $29,58,87,116,145,174$, то есть $29\cdot 1,\dots ,29\cdot 6$ — их $6$. Кратны $25$ числа $50,75,100,125,150$ (число $25$ меньше $26$, а $175$ больше $174$) — их $5$. Так как $5<6$, условие выполнено, и $k=149$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $149$.