ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Сделаем три наблюдения, которыми будем пользоваться во всех пунктах.

1. Каждое задуманное число само написано на доске.
2. Все задуманные числа не меньше $1$, поэтому произведение всех задуманных чисел не меньше любого произведения части из них. Значит, наибольшее число на доске — произведение всех задуманных чисел.
3. Если на доске нет числа $1$, то среди задуманных чисел нет единиц (по наблюдению 1), то есть все они не меньше $2$. Тогда простое число на доске не может быть произведением двух или более задуманных чисел, и потому само является задуманным.

а) Пример: $2,3,3,5$.

Как его найти. Числа $2$, $3$, $5$ простые, единицы на доске нет, поэтому по наблюдению 3 они задуманы. Число $9$ получается либо как задуманное число $9$, либо как произведение двух троек. Набор $2,3,5,9$ не подходит: в нём есть произведение $3\cdot 9=27$, а его на доске нет. Поэтому пробуем вторую тройку.

Проверим набор $2,3,3,5$, выписав все произведения:

• по одному числу: $2$, $3$, $5$;
• по два: $2\cdot 3=6$, $2\cdot 5=10$, $3\cdot 3=9$, $3\cdot 5=15$;
• по три: $2\cdot 3\cdot 3=18$, $2\cdot 3\cdot 5=30$, $3\cdot 3\cdot 5=45$;
• все четыре: $2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

После стирания повторов на доске останется ровно набор $2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90$.

б) Нет, не существует. Предположим, что такие задуманные числа есть.

Единицы на доске нет, а числа $3$, $5$, $7$ простые, поэтому по наблюдению 3 числа $3$, $5$, $7$ задуманы.

По наблюдению 2 произведение всех задуманных чисел равно наибольшему числу на доске:

$$945=3^3\cdot 5\cdot 7.$$

Значит, произведение остальных задуманных чисел (кроме взятых $3$, $5$, $7$) равно $\frac{945}{3\cdot 5\cdot 7}=9$. Все они не меньше $2$, а $9=3\cdot 3$, поэтому остальные числа — это либо одно число $9$, либо две тройки. Разберём оба случая.

Задуманы $3,5,7,9$. Тогда на доске есть произведение $7\cdot 9=63$, а его в наборе нет. Противоречие.

Задуманы $3,3,3,5,7$. Тогда на доске есть произведение $3\cdot 3\cdot 3=27$, а его в наборе нет. Противоречие.

Других случаев нет, поэтому такого примера не существует.

в) По наблюдению 2 произведение шести задуманных чисел равно $82=2\cdot 41$, где $2$ и $41$ — простые. Каждое задуманное число — делитель $82$, то есть одно из чисел $1$, $2$, $41$, $82$.

Простой множитель $41$ входит в произведение один раз, поэтому ровно одно задуманное число делится на $41$: это $41$ или $82$.

Если это $82$, то произведение остальных пяти чисел равно $1$, и все они — единицы. Набор $82,1,1,1,1,1$; на доске будут числа $1$ и $82$, наибольшее равно $82$ — подходит.

Если это $41$, то произведение остальных пяти чисел равно $2$: одно из них $2$, остальные — единицы. Набор $41,2,1,1,1,1$; на доске будут числа $1$, $2$, $41$, $82$, наибольшее равно $82$ — подходит.

Других вариантов нет.

Ответ: а) например, $2,3,3,5$; б) нет; в) $82,1,1,1,1,1$ и $41,2,1,1,1,1$.