ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Заметим главное: сумма всех $2k$ выбранных чисел равна сумме $k$ сумм пар, ведь каждое число входит ровно в одну пару.

а) Нет, не может. Если в паре одно число в три раза больше другого, то пара имеет вид $x$ и $3x$, и её сумма $x+3x=4x$ делится на $4$. Тогда сумма всех выбранных чисел — это сумма нескольких чисел, кратных $4$, и она тоже делится на $4$. Но $170=4\cdot 42+2$ на $4$ не делится. Противоречие.

б) Нет, не может. Если $k=11$, то выбрано $22$ числа из $22$, то есть все числа от $1$ до $22$. По формуле суммы первых $n$ натуральных чисел $1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ их сумма равна

$$1+2+\dots +22=\frac{22\cdot 23}{2}=253.$$

С другой стороны, это сумма $11$ сумм пар. Эти суммы различны и не больше $27$, поэтому их сумма не больше суммы $11$ наибольших различных натуральных чисел, не превосходящих $27$:

$$27+26+\dots +17=\frac{(27+17)\cdot 11}{2}=242.$$

Получаем $253⩽242$ — противоречие. Значит, $k\ne 11$.

в) Оценка. Из $22$ чисел можно выбрать не больше $22$, поэтому $2k⩽22$, $k⩽11$. По пункту б) $k\ne 11$. Значит, $k⩽10$.

Пример. Для $k=10$ противоречия, как в пункте б), уже нет: если взять числа от $1$ до $20$, их сумма равна $210$, а десять наибольших возможных сумм дают $27+26+\dots +18=225$. Разобьём числа $1,2,\dots ,20$ на пары так:

$$\begin{array}{lllll}20+7=27,& 19+6=25,& 18+5=23,& 17+4=21,& 16+3=19,\\ 15+2=17,& 14+12=26,& 13+1=14,& 11+9=20,& 10+8=18.\end{array}$$

Проверим условия. Использованы $20$ различных чисел — все числа от $1$ до $20$, каждое по одному разу. Суммы пар: $14$, $17$, $18$, $19$, $20$, $21$, $23$, $25$, $26$, $27$ — все различны и не больше $27$. Значит, $k=10$ достигается.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $10$.