ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Будем записывать состояние коробок четвёркой $(\mathrm{I};\mathrm{II};\mathrm{III};\mathrm{IV})$ — количества камней в первой, второй, третьей и четвёртой коробках. Начальное состояние: $(135;136;137;0)$.

а) Да, может. Приведём последовательность ходов.

1. Берём по камню из коробок I, II, III и кладём в IV: $(134;135;136;3)$.
2. Ещё раз то же самое: $(133;134;135;6)$.
3. Берём по камню из коробок II, III, IV и кладём в I: $(136;133;134;5)$.
4. Берём по камню из коробок I, III, IV и кладём во II: $(135;136;133;4)$.

Получили требуемое: $135$, $136$, $133$ и $4$ камня.

Для пунктов б) и в) найдём, что не меняется при ходах. За один ход в одной коробке становится на $3$ камня больше, а в каждой из трёх других — на $1$ камень меньше. Возьмём любые две коробки, в которых $x$ и $y$ камней, и посмотрим, как меняется разность $y-x$.

Если из обеих коробок взяли по камню, разность не меняется:

$$(y-1)-(x-1)=y-x.$$

Если в коробку с $y$ камнями положили $3$ камня, а из коробки с $x$ камнями взяли один, разность увеличивается на $4$:

$$(y+3)-(x-1)=(y-x)+4.$$

Если наоборот, разность уменьшается на $4$:

$$(y-1)-(x+3)=(y-x)-4.$$

Итак, разность количеств камней в любых двух коробках за ход либо не меняется, либо меняется на $4$. Значит, остаток этой разности при делении на $4$ не меняется никогда.

В начале $\mathrm{II}-\mathrm{I}=1$, $\mathrm{III}-\mathrm{II}=1$, $\mathrm{III}-\mathrm{I}=2$. Ни одна из этих разностей не делится на $4$, поэтому и после любого числа ходов они не делятся на $4$, в частности, не равны нулю. Вывод: в коробках I, II и III всегда лежит попарно различное число камней.

б) Нет, не может. Общее число камней не меняется (из трёх коробок берут $3$ камня и кладут их в четвёртую), оно равно $135+136+137=408$. Если в четвёртой коробке $408$ камней, то в первых трёх их нет совсем: $\mathrm{I}=\mathrm{II}=\mathrm{III}=0$. Но тогда разность $\mathrm{II}-\mathrm{I}=0$ делится на $4$, а мы доказали, что это невозможно.

в) Оценка. В коробках I, II, III лежат три попарно различных неотрицательных целых числа камней. Наименьшая сумма трёх различных неотрицательных целых чисел равна $0+1+2=3$. Поэтому

$$\mathrm{IV}=408-(\mathrm{I}+\mathrm{II}+\mathrm{III})⩽408-3=405.$$

Пример. Сделаем $135$ одинаковых ходов: каждый раз берём по камню из коробок I, II, III и кладём в IV. После $j$ таких ходов состояние равно $(135-j;136-j;137-j;3j)$. Перед каждым ходом ($j⩽134$) в первых трёх коробках есть хотя бы по одному камню, так что ход возможен. После $135$ ходов получаем

$$(135-135;136-135;137-135;3\cdot 135)=(0;1;2;405).$$

Значит, $405$ камней в четвёртой коробке получить можно, и это наибольшее значение.

Ответ: а) да; б) нет; в) $405$.