ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — последовательности и прогрессии

Разбор — 4 балла

а) Да, может. Пример: $170,168,166,\dots ,94,92$. Каждое следующее число на $2$ меньше предыдущего, все числа от $80$ до $170$, и их

$$\frac{170-92}{2}+1=40.$$

б) Да, может. Пример:

$$169,167,\dots ,83,81,162,160,\dots ,96,94.$$

Нечётных чисел от $169$ до $81$ ровно $\frac{169-81}{2}+1=45$; число $162=2\cdot 81$ делится на предыдущее; чётных чисел от $162$ до $94$ ровно $\frac{162-94}{2}+1=35$. Остальные переходы — уменьшение на $2$, все числа от $80$ до $170$. Нечётные и чётные числа не совпадают, поэтому различных чисел $45+35=80$.

в) Выясним, что может стоять после числа $m$. Это $m-2$ или число $jm$, кратное $m$. Так как $m⩾80$, а $jm⩽170$, возможны только $j=1$ (то же число $m$) и $j=2$ (только при $m⩽85$). Итак, после $m$ идёт $m-2$, $m$ или $2m$.

Переходы $m\to m-2$ и $m\to m$ сохраняют чётность, а $2m$ всегда чётно. Значит, после первого чётного числа все следующие числа чётные. Последовательность устроена так: сначала (возможно, пустой) блок нечётных чисел, затем чётные. В нечётном блоке числа только уменьшаются на $2$ или повторяются, поэтому наименьшее нечётное число стоит последним, и из него получается первое чётное удвоением.

Всего нечётных чисел от $80$ до $170$ — $45$ (от $81$ до $169$), чётных — $46$ (от $80$ до $170$).

Оценка. Если числа $170$ в последовательности нет, то различных чисел не больше $45+45=90$.

Пусть $170$ есть. Перед первым его появлением не может стоять $172$ (вне промежутка) и не может стоять $170$. Значит, $170$ — либо первый член, либо идёт сразу после $85$ (так как $170=2\cdot 85$).

• Если $170$ — первый член, то нечётных чисел нет, и различных чисел не больше $46$.
• Если $170$ идёт после $85$, то $85$ — последнее и наименьшее нечётное число, и все нечётные числа от $85$ до $169$: их не больше $\frac{169-85}{2}+1=43$. Всего различных чисел не больше $43+46=89$.

В любом случае различных чисел не больше $90$.

Пример.

$$169,167,\dots ,81,162,160,\dots ,84,168,166,\dots ,82,80.$$

Переходы $81\to 162$ и $84\to 168$ — удвоение, остальные — уменьшение на $2$, все числа от $80$ до $170$. В последовательности встречаются все нечётные числа от $81$ до $169$ ($45$ чисел) и все чётные от $80$ до $168$ ($45$ чисел; числа от $162$ до $84$ повторяются). Различных чисел $90$, значит, оценка достигается.

Ответ: а) да; б) да; в) $90$.