На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2015 развёрнутое

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры. Например, число 16 заменили на число 61.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $n$ чисел, $i$ -е из них равно $10 a_{i} + b_{i}$ , где $a_{i}, b_{i} \in {1, 2, \dots, 9}$ . Обозначим $A = a_{1} + \dots + a_{n}$ , $B = b_{1} + \dots + b_{n}$ . Тогда сумма исходных чисел

$10 A + B = 2970.$

После перестановки цифр $i$ -е число равно $10 b_{i} + a_{i}$ , а сумма получившихся чисел $S = 10 B + A$ . Так как каждая цифра от $1$ до $9$ , имеем $n ⩽ B$ и $A ⩽ 9 n$ .

а) Новая сумма должна быть $\frac{2970}{3} = 990$ . Решим систему

${10 A + B = 2970, A + 10 B = 990.$

Вычтем из первого уравнения второе: $9 A - 9 B = 1980$ , то есть $A = B + 220$ . Подставим в первое: $10 B + 2200 + B = 2970$ , откуда $B = 70$ , $A = 290$ .

Возьмём побольше девяток среди первых цифр: $290 = 32 \cdot 9 + 2$ , а вторые цифры подберём так, чтобы их сумма была $70$ : $70 = 32 \cdot 2 + 6$ .

Пример: тридцать два числа $92$ и одно число $26$ . Цифр $0$ нет. Сумма исходных чисел $32 \cdot 92 + 26 = 2944 + 26 = 2970$ . После перестановки цифр: $32 \cdot 29 + 62 = 928 + 62 = 990$ , и $2970 : 990 = 3$ .

б) Нет, не могла. Новая сумма была бы $\frac{2970}{5} = 594$ :

${10 A + B = 2970, A + 10 B = 594.$

Вычитая, получаем $9 A - 9 B = 2376$ , $A = B + 264$ , затем $11 B + 2640 = 2970$ , то есть $B = 30$ , $A = 294$ . Но $n ⩽ B = 30$ , а тогда $A ⩽ 9 n ⩽ 270 < 294$ — противоречие.

в) Выразим $S$ через $B$ . Из $10 A + B = 2970$ получаем $A = \frac{2970 - B}{10}$ , поэтому

$10 S = 100 B + 10 A = 100 B + 2970 - B = 99 (B + 30) .$

Числа $99$ и $10$ взаимно просты, значит, $S$ делится на $99$ . Кроме того, $S$ тем больше, чем больше $B$ .

Оценка. Так как $A ⩽ 9 n ⩽ 9 B$ , имеем

$2970 = 10 A + B ⩽ 91 B \Rightarrow B ⩾ \frac{2970}{91} > 32,$

то есть $B ⩾ 33$ . Тогда $10 S = 99 (B + 30) ⩾ 99 \cdot 63 = 6237$ , $S ⩾ 623, 7$ . Кратные $99$ числа рядом — $594$ и $693$ , поэтому $S ⩾ 693$ .

Пример. При $S = 693$ получаем $B + 30 = 70$ , то есть $B = 40$ и $A = \frac{2970 - 40}{10} = 293$ . Разложим: $293 = 32 \cdot 9 + 5$ , $40 = 32 \cdot 1 + 8$ . Возьмём тридцать два числа $91$ и одно число $58$ . Сумма исходных $32 \cdot 91 + 58 = 2912 + 58 = 2970$ , сумма после перестановки $32 \cdot 19 + 85 = 608 + 85 = 693$ . Значит, значение $693$ достигается.

Ответ: а) например, тридцать два числа $92$ и число $26$ ; б) нет; в) $693$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20