ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть $n_1<n_2<\dots <n_k$ — различные натуральные числа, и их среднее геометрическое равно натуральному $g$, то есть $n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k=g^k$. Отметим два факта.

1. Каждый простой делитель любого $n_i$ делит $g^k$, а значит, делит и $g$.
2. $n_1<g<n_k$. Действительно, если бы все числа были не меньше $g$, то их произведение было бы не меньше $g^k$, причём равенство только когда все числа равны $g$, а они различны. Аналогично, не все числа меньше или равны $g$.

а) Да, может. Пример: числа $27$, $45$, $75$ — различные двузначные. Их произведение

$$27\cdot 45\cdot 75=3^3\cdot (3^2\cdot 5)\cdot (3\cdot 5^2)=3^6\cdot 5^3=(3^2\cdot 5{)}^3=45^3,$$

поэтому $\sqrt[3]{27\cdot 45\cdot 75}=45$.

б) Оценка. Пусть $a<b<c$ — различные двузначные числа и их среднее геометрическое равно целому $g$. По факту 2 имеем $10⩽a<g$, значит, $g⩾11$. По факту 1 все простые делители $a$ делят $g$. Проверим $g$ от $11$ до $17$:

• $g=11,13,17$ — простые, тогда $a$ — степень $g$, но двузначных степеней, меньших $g$, нет;
• $g=16=2^4$: $a$ — степень двойки от $10$ до $15$, таких нет;
• $g=12=2^2\cdot 3$: $a\in \{10,11\}$, но $10$ делится на $5$, а $11$ — простое, отличное от $2$ и $3$;
• $g=14=2\cdot 7$: $a\in \{10,11,12,13\}$, но в них есть множители $5$, $11$, $3$, $13$;
• $g=15=3\cdot 5$: $a\in \{10,\dots ,14\}$, но $10,12,14$ чётные, а $11,13$ — простые, отличные от $3$ и $5$.

Значит, $g⩾18$.

Пример. Числа $12$, $18$, $27$:

$$12\cdot 18\cdot 27=(2^2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3^2)\cdot 3^3=2^3\cdot 3^6=(2\cdot 3^2{)}^3=18^3,$$

поэтому среднее геометрическое равно $18$. Значит, значение $18$ достигается.

в) Пример. Числа $25$, $45$, $60$, $80$, $90$, $96$. Разложим их на множители: $25=5^2$, $45=3^2\cdot 5$, $60=2^2\cdot 3\cdot 5$, $80=2^4\cdot 5$, $90=2\cdot 3^2\cdot 5$, $96=2^5\cdot 3$. Произведение равно

$$2^{2+4+1+5}\cdot 3^{2+1+2+1}\cdot 5^{2+1+1+1+1}=2^{12}\cdot 3^6\cdot 5^6=(2^2\cdot 3\cdot 5{)}^6=60^6,$$

поэтому среднее геометрическое равно $60$.

Оценка. Пусть среднее геометрическое шести различных двузначных чисел равно целому $g⩾61$. По факту 2 $g$ меньше наибольшего из чисел, то есть $g⩽98$. Назовём двузначное число подходящим, если все его простые делители делят $g$. По факту 1 все шесть чисел подходящие.

Случай 1: у $g$ есть простой делитель $p⩾11$. Так как $p^2⩾121$, каждое двузначное число содержит $p$ не больше чем в первой степени. А в произведение $g^6$ множитель $p$ входит хотя бы в шестой степени. Значит, все шесть чисел делятся на $p$.

• $p⩾17$: двузначных чисел, кратных $p$, не больше пяти, так как $6p⩾102$. Противоречие.
• $p=13$: $g\in \{65,78,91\}$. Подходящие кратные $13$: при $g=65$ — $13,65$; при $g=78=2\cdot 3\cdot 13$ — $13,26,39,52,78$; при $g=91$ — $13,91$. Везде меньше шести.
• $p=11$: $g\in \{66,77,88\}$. Подходящие кратные $11$: при $g=77$ — $11,77$; при $g=88$ — $11,22,44,88$. При $g=66=2\cdot 3\cdot 11$ подходят $11,22,33,44,66,88,99$, но множитель $3$ должен входить в произведение в степени $6$ (так как $66^6=2^6\cdot 3^6\cdot 11^6$), а среди этих чисел тройку содержат только $33$, $66$ (по одной) и $99$ (две) — всего не больше четырёх. Противоречие.

Случай 2: все простые делители $g$ не больше $7$. Таких $g$ от $61$ до $98$ одиннадцать: $63$, $64$, $70$, $72$, $75$, $80$, $81$, $84$, $90$, $96$, $98$.

• $g\in \{64,80,81,96,98\}$: само $g$ — наибольшее подходящее двузначное число (среди чисел от $g+1$ до $99$ у каждого есть «чужой» простой делитель). Тогда все шесть чисел не больше $g$, что противоречит факту 2.
• $g=63=3^2\cdot 7$: подходящие числа $21,27,49,63,81$ — их всего пять.
• $g=75=3\cdot 5^2$: подходящие числа $15,25,27,45,75,81$ — ровно шесть, значит, взяты все. Но их произведение $3\cdot 5\cdot 5^2\cdot 3^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 3\cdot 5^2\cdot 3^4=3^{11}\cdot 5^6$, а $75^6=3^6\cdot 5^{12}$.
• $g\in \{70,72,84,90\}$: если выписать выбранные числа по убыванию, каждое не больше соответствующего из шести наибольших подходящих чисел. Поэтому произведение выбранных не больше произведения шести наибольших подходящих. Разобьём его на пары:

$$g=70:(98\cdot 50)(80\cdot 56)(70\cdot 64)=4900\cdot 4480\cdot 4480<4900^3=70^6;$$

$$g=72:(96\cdot 48)(81\cdot 54)(72\cdot 64)=4608\cdot 4374\cdot 4608<5184^3=72^6;$$

$$g=84:(98\cdot 64)(96\cdot 72)(84\cdot 81)=6272\cdot 6912\cdot 6804<7056^3=84^6;$$

$$g=90:(96\cdot 72)(90\cdot 75)(81\cdot 80)=6912\cdot 6750\cdot 6480<8100^3=90^6.$$

Произведение меньше $g^6$ — противоречие.

Во всех случаях получили противоречие, значит, $g⩽60$, а $60$ достигается.

Ответ: а) да; б) $18$; в) $60$.