ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Так как $45=5\cdot 9$ и числа $5$ и $9$ взаимно просты, число делится на $45$ тогда и только тогда, когда оно делится на $5$ и на $9$.

Каждое из двух чисел делится на $5$, значит, оканчивается на $0$ или на $5$. Цифры $0$ и $5$ есть только по одной, поэтому одно число оканчивается на $0$, а другое — на $5$.

Сумма всех цифр $0+1+2+3+5+7+9=27$. Сумма цифр каждого числа делится на $9$ и положительна, а вместе они дают $27$. Значит, суммы цифр чисел равны $9$ и $18$.

а) Да, может. Пример: $1935$ и $270$. Использованы цифры $1,9,3,5$ и $2,7,0$ — все семь, по одному разу. Оба числа делятся на $45$: $1935=45\cdot 43$, $270=45\cdot 6$. Сумма

$$1935+270=2205.$$

б) Нет, не может. Если оба числа делятся на $45$, то и их сумма делится на $45$, а значит, на $9$. Сумма цифр числа $3435$ равна $3+4+3+5=15$ и на $9$ не делится.

в) Оценка. Сначала выясним, у какого числа сумма цифр $9$. Четыре различные цифры с суммой $9$: цифры $7$ и $9$ в такой набор не входят (даже с тремя наименьшими цифрами $0,1,2$ сумма получится $10$ и $12$), а из цифр $0,1,2,3,5$ с общей суммой $11$ надо убрать одну цифру так, чтобы осталось $9$, — это цифра $2$. Получаем единственный набор $0,1,3,5$. Тогда трёхзначное число составлено из цифр $2,7,9$ и не оканчивается ни на $0$, ни на $5$ — оно не делится на $5$. Значит, у четырёхзначного числа сумма цифр $18$, а у трёхзначного — $9$.

Три различные цифры с суммой $9$: цифра $9$ не подходит (остальные две дали бы сумму $0$); если есть $7$, то две другие дают $2$ — это $0$ и $2$; без $7$ и $9$ из цифр $0,1,2,3,5$ сумму $9$ даёт только $1,3,5$. Итак, трёхзначное число составлено из цифр $0,2,7$ или из цифр $1,3,5$.

Случай 1: трёхзначное из цифр $0,2,7$. Оно оканчивается на $0$, наибольшее такое — $720$. Четырёхзначное составлено из $1,3,5,9$ и оканчивается на $5$, наибольшее — $9315$. Наибольшая сумма в этом случае $9315+720=10035$.

Случай 2: трёхзначное из цифр $1,3,5$. Оно оканчивается на $5$, наибольшее — $315$. Четырёхзначное составлено из $0,2,7,9$ и оканчивается на $0$, наибольшее — $9720$. Наибольшая сумма $9720+315=10035$.

В каждом случае числа выбираются независимо, поэтому сумма наибольшая, когда наибольшее каждое число. Значит, сумма не больше $10035$.

Пример. $9315+720=10035$: цифры $9,3,1,5,7,2,0$ использованы по одному разу, $9315=45\cdot 207$ и $720=45\cdot 16$. Значит, сумма $10035$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $10035$.