На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках средняя 2020 развёрнутое

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6 (возможно, только одна из этих цифр).

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

а) Да, может. Пример: на доске числа $1$ , $6$ и $166$ . Они различны, записаны только цифрами $1$ и $6$ , и

$1 + 6 + 166 = 173.$

б) Нет, не может. Каждое число на доске не больше суммы, то есть не больше $109$ . Числа из цифр $1$ и $6$ , не большие $109$ : однозначные $1$ , $6$ и двузначные $11$ , $16$ , $61$ , $66$ (трёхзначные не меньше $111$ ). Каждое из них можно взять не больше одного раза.

Числа $61$ и $66$ вместе брать нельзя: $61 + 66 = 127 > 109$ . Сумма всех остальных чисел $1 + 6 + 11 + 16 = 34$ . Поэтому наибольшие возможные суммы:

$34 + 61 = 95 < 109, 34 + 66 = 100 < 109,$

а без $61$ и $66$ сумма не больше $34$ . Получить $109$ нельзя.

в) Оценка. Каждое число на доске оканчивается на $1$ или на $6$ , поэтому даёт остаток $1$ при делении на $5$ . Если чисел $n$ , то сумма даёт при делении на $5$ тот же остаток, что и $n$ . Число $1021$ даёт остаток $1$ , значит, $n$ при делении на $5$ даёт остаток $1$ : $n = 1$ , $6$ , $11$ , … Одного числа мало: само $1021$ содержит цифры $0$ и $2$ . Значит, $n ⩾ 6$ .

Пример. Шесть различных чисел из цифр $1$ и $6$ :

$616 + 161 + 116 + 111 + 16 + 1 = 777 + 227 + 17 = 1021.$

Значит, шесть чисел достаточно.

Ответ: а) да; б) нет; в) $6$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20