В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Пусть в ящике фруктов легче г, фруктов тяжелее г и фруктов массой ровно г. Средняя масса всех фруктов г, поэтому их общая масса г. Лёгкие фрукты весят вместе г, тяжёлые — г:
В ящике есть фрукты разной массы, значит, не все они весят г, и . Из равенства видно, что только при , поэтому и . Число чётно, значит, чётно: , тогда , где — натуральное. Кроме того, , откуда .
а) Нет, не могло. Если , то , то есть , а .
б) Нет, не могло. Фруктов массой г ровно
то есть их не меньше .
в) Оценка. Самый тяжёлый фрукт весит больше г, то есть он один из тяжёлых. Вместе тяжёлые фрукты весят г. Остальные тяжёлых фруктов весят целое число граммов больше , то есть не меньше г каждый. Поэтому масса самого тяжёлого фрукта не больше
Пример. Возьмём : в ящике фрукта по г, фруктов по г, фруктов по г и один фрукт массой г.
Проверим: всего фруктов. Общая масса
средняя масса г. Лёгкие фрукты весят по г — их средняя масса г. Тяжёлые фрукты весят вместе г, их средняя масса г. Массы целые, и есть фрукты разной массы. Значит, масса г достигается.
Ответ: а) нет; б) нет; в) г.