ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Обозначим $S_{\text{кр}}$ — сумму чисел на красных карточках, $S_{\text{син}}$ — на синих. Среднее всех $50$ чисел равно $16$:

$$S_{\text{кр}}+S_{\text{син}}=16\cdot 50=800.$$

После удвоения чисел на синих карточках их сумма стала $2S_{\text{син}}$, а среднее — $31,2$:

$$S_{\text{кр}}+2S_{\text{син}}=31,2\cdot 50=1560.$$

Вычтем из второго равенства первое: $S_{\text{син}}=760$, тогда $S_{\text{кр}}=40$.

а) Да, может. Тогда красных карточек $40$. Числа натуральные, каждое не меньше $1$, а их сумма $40$ — значит, на всех красных карточках написано $1$.

Синие числа должны быть различными, больше $1$ и в сумме давать $760=76\cdot 10$. Возьмём пять пар чисел, симметричных относительно $76$.

Пример: на $40$ красных карточках числа $1$, на $10$ синих — числа

$$71,72,73,74,75,77,78,79,80,81.$$

Синие числа различны и больше $1$. Их сумма $760$, сумма всех чисел $40+760=800$, среднее $16$. После удвоения сумма $40+1520=1560$, среднее $\frac{1560}{50}=31,2$. Все условия выполнены.

б) Нет, не может. Тогда синих карточек $40$. Если бы все $10$ красных чисел были не больше $3$, их сумма была бы не больше $30<40$. Значит, есть красное число не меньше $4$, и все синие числа не меньше $5$.

Сорок различных натуральных чисел, не меньших $5$, в сумме не меньше, чем

$$5+6+\dots +44=\frac{(5+44)\cdot 40}{2}=980>760.$$

Противоречие.

в) Оценка. Пусть синих карточек хотя бы $36$. Тогда красных не больше $14$, и если бы все красные числа были не больше $2$, их сумма была бы не больше $28<40$. Значит, есть красное число не меньше $3$, и все синие числа не меньше $4$. Сумма хотя бы $36$ различных чисел, не меньших $4$, не меньше

$$4+5+\dots +39=\frac{(4+39)\cdot 36}{2}=774>760.$$

Противоречие. Значит, синих карточек не больше $35$.

Пример. Синих карточек $35$, красных $15$. Красные: пять чисел $2$ и десять чисел $3$, сумма $10+30=40$. Синие: $34$ числа $4,5,\dots ,37$ с суммой $\frac{(4+37)\cdot 34}{2}=697$ и число $760-697=63$.

Синие числа различны (последнее $63>37$) и все больше $3$, то есть больше любого красного. Сумма всех чисел $40+760=800$, среднее $16$; после удвоения $40+1520=1560$, среднее $31,2$. Все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) нет; в) $35$.