Юра распечатал на принтере карточки со всеми трёхзначными… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках средняя 2025 развёрнутое

Юра распечатал на принтере карточки со всеми трёхзначными натуральными числами, которые равны $n^{2} + 8 n$ при некотором натуральном $n$ . Когда его сестра Катя пришла из школы, она выбрала все карточки с числами, оканчивающимися цифрой $4$ .

а) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается $84$ ?

б) Могла ли у Кати оказаться карточка с числом, которое оканчивается $54$ ?

в) Сколько всего у Кати карточек?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Выделим полный квадрат:

$n^{2} + 8 n = (n + 4)^{2} - 16, то есть (n + 4)^{2} = n^{2} + 8 n + 16.$

Нам понадобится факт: если квадрат натурального числа $m^{2}$ делится на $10$ , то он делится на $100$ . Действительно, $m^{2}$ делится на простые числа $2$ и $5$ , поэтому на них делится и $m$ . Значит, $m$ делится на $10$ , а $m^{2}$ — на $100$ , то есть оканчивается двумя нулями.

а) Да, могла. При $n = 16$ :

$n^{2} + 8 n = 256 + 128 = 384.$

Это трёхзначное число, оно оканчивается цифрой $4$ (карточку взяла Катя) и оканчивается на $84$ .

б) Нет, не могла. Пусть $n^{2} + 8 n$ оканчивается на $54$ . Тогда $(n + 4)^{2} = n^{2} + 8 n + 16$ оканчивается на $54 + 16 = 70$ . Значит, $(n + 4)^{2}$ делится на $10$ , и по доказанному факту оно оканчивается на $00$ , а не на $70$ — противоречие.

в) Пусть $n^{2} + 8 n$ оканчивается цифрой $4$ . Тогда $(n + 4)^{2}$ оканчивается цифрой $0$ , то есть делится на $10$ , а значит, $n + 4$ делится на $10$ .

Число трёхзначное:

$100 ⩽ n^{2} + 8 n ⩽ 999 \Leftrightarrow 116 ⩽ (n + 4)^{2} ⩽ 1015.$

Так как $1 0^{2} = 100 < 116$ и $3 2^{2} = 1024 > 1015$ , получаем $11 ⩽ n + 4 ⩽ 31$ . Кратные $10$ числа в этом промежутке — $20$ и $30$ , откуда $n = 16$ или $n = 26$ :

$1 6^{2} + 8 \cdot 16 = 384, 2 6^{2} + 8 \cdot 26 = 676 + 208 = 884.$

Оба числа трёхзначные и оканчиваются на $4$ . Значит, у Кати ровно $2$ карточки.

Ответ: а) да; б) нет; в) $2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20