Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2026 развёрнутое

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.

В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается $10 a + 4 b + c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом. Если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_{1}, b_{1}$ и $c_{1},$ а у спортсмена-2 — $a_{2}, b_{2}$ и $c_{2},$ то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:

– $a_{1} > a_{2},$

– $a_{1} = a_{2}$ и $b_{1} > b_{2},$

– $a_{1} = a_{2}, b_{1} = b_{2}$ и $c_{1} > c_{2} .$

Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.

a) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов тоже не было бы совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?

в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл $Q$ для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться $10 a + k_{1} b + k_{2} c$ очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения $k_{1}$ и $k_{2}$ такие, что $1 ⩽ k_{2} < k_{1} ⩽ 9.$ Найдите все пары $(k_{1}; k_{2}),$ при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла $Q .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

На каждом этапе первое, второе и третье места занимают три разных спортсмена. Поэтому за $10$ этапов разыгрывается ровно по $10$ первых, вторых и третьих мест, а каждый спортсмен занимает не больше одного призового места на этапе. В примерах ниже покажем и итоговую таблицу, и раскладку мест по этапам.

а) Да, может. Пример итогов года:

$Спортсмен 12345678910 a 4321000000 b 0001332100 c 0000102232 10 a + 4 b + c 40302014131210632$

Первых мест $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ , вторых $1 + 3 + 3 + 2 + 1 = 10$ , третьих $1 + 2 + 2 + 3 + 2 = 10$ . Раскладка по этапам (в клетке — номер спортсмена):

$Этап 1- е место 2- е место 3- е место 1145215731574158526862697269837993710104810$

На каждом этапе призёры разные, и по этапам у каждого спортсмена ровно столько мест, сколько в таблице итогов.

Очки в этом году: $40 > 30 > 20 > 14 > 13 > 12 > 10 > 6 > 3 > 2$ — все разные, порядок спортсменов $1, 2, \dots, 10$ .

По правилам прошлого года: спортсмены $1$ – $4$ упорядочены по числу первых мест ( $4 > 3 > 2 > 1$ ), у остальных первых мест нет. Среди них по числу вторых мест: у $5$ и $6$ по $3$ , затем $7$ (два), $8$ (одно), $9$ и $10$ (ни одного). Спортсмен $5$ выше $6$ по третьим местам ( $1 > 0$ ), спортсмен $9$ выше $10$ ( $3 > 2$ ). Получаем тот же порядок $1, 2, \dots, 10$ без совпадений.

б) Сумма очков всех спортсменов не зависит от распределения мест: $10$ первых мест дают $100$ очков, $10$ вторых — $40$ , $10$ третьих — $10$ , всего $150$ .

Оценка. Пусть у спортсмена с наименьшим рейтингом $p ⩾ 0$ очков, а у следующего за ним $p + d$ , где $d$ — искомая разница. Остальные восемь спортсменов набрали попарно различные целые количества очков, большие $p + d$ , поэтому у них не меньше $p + d + 1$ , $p + d + 2$ , …, $p + d + 8$ . Тогда

$150 ⩾ p + (p + d) + (p + d + 1) + \dots + (p + d + 8) = 10 p + 9 d + 36 ⩾ 9 d + 36,$

откуда $d ⩽ \frac{114}{9} = 12 \frac{2}{3}$ . Так как $d$ — целое, $d ⩽ 12$ .

Пример. Итоги года:

$Спортсмен 12345678910 a 2211011110 b 1021411000 c 1003010320 10 a + 4 b + c 2520181716151413120$

Первых мест $2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10$ , вторых $1 + 2 + 1 + 4 + 1 + 1 = 10$ , третьих $1 + 3 + 1 + 3 + 2 = 10$ , сумма очков $150$ . Раскладка по этапам:

$Этап 1- е место 2- е место 3- е место 11382158324142545368647976548734985910916$

На каждом этапе призёры разные. Очки всех спортсменов различны, два наименьших рейтинга — $12$ и $0$ , разница $12$ .

в) Сумма очков всех спортсменов снова не зависит от распределения мест:

$S = 10 \cdot 10 + 10 k_{1} + 10 k_{2} = 10 (10 + k_{1} + k_{2}) .$

Пусть $m$ — число спортсменов, набравших хотя бы одно очко. Так как $k_{2} ⩾ 1$ , любое призовое место приносит очки, поэтому $m$ — это число спортсменов, хотя бы раз попавших в тройку. Средний балл $Q = \frac{S}{m}$ .

Какие бывают $m$ . На первом же этапе очки получают три разных спортсмена, поэтому $m ⩾ 3$ ; и $m ⩽ 10$ . Любое $m$ от $3$ до $10$ возможно: пусть спортсмен $1$ всегда первый, спортсмен $2$ всегда второй, а третьи места на этапах $1, 2, \dots, m - 3$ получают по разу спортсмены $4, 5, \dots, m$ , на остальных $13 - m ⩾ 3$ этапах — спортсмен $3$ . Тогда очки есть ровно у $m$ спортсменов.

Значит, при данной паре $(k_{1}; k_{2})$ возможны значения $Q = \frac{S}{m}$ , $m = 3, 4, \dots, 10$ , — все разные, и количество целых среди них равно количеству чисел $m$ от $3$ до $10$ , на которые делится $S$ .

Обозначим $t = 10 + k_{1} + k_{2}$ , тогда $S = 10 t$ . Из условия $1 ⩽ k_{2} < k_{1} ⩽ 9$ сумма $k_{1} + k_{2}$ принимает значения от $1 + 2 = 3$ до $8 + 9 = 17$ , то есть $13 ⩽ t ⩽ 27$ .

Так как $S = 2 \cdot 5 \cdot t$ , делимость на каждое $m$ сводится к делимости $t$ :

на $5$ и на $10$ число $S$ делится всегда;
на $3$ и на $6$ — тогда и только тогда, когда $t$ делится на $3$ ;
на $4$ — когда $t$ чётно; на $8$ — когда $t$ делится на $4$ ;
на $7$ — когда $t$ делится на $7$ ; на $9$ — когда $t$ делится на $9$ .

Переберём все $t$ :

$t 131415161718192021222324252627 S 130140150160170180190200210220230240250260270 m от 3 до 10, делящие S 5, 10 4, 5, 7, 10 3, 5, 6, 10 4, 5, 8, 10 5, 10 3, 4, 5, 6, 9, 10 5, 10 4, 5, 8, 10 3, 5, 6, 7, 10 4, 5, 10 5, 10 3, 4, 5, 6, 8, 10 5, 10 4, 5, 10 3, 5, 6, 9, 10 количество 244426245326235$

Наибольшее количество целых значений $Q$ — шесть — получается при $t = 18$ и $t = 24$ .

При $t = 18$ имеем $k_{1} + k_{2} = 8$ и $k_{2} < k_{1}$ : пары $(7; 1)$ , $(6; 2)$ , $(5; 3)$ .

При $t = 24$ имеем $k_{1} + k_{2} = 14$ , $k_{1} ⩽ 9$ , $k_{2} < k_{1}$ : пары $(9; 5)$ , $(8; 6)$ .

Ответ: а) да; б) $12$ ; в) $(5; 3)$ , $(6; 2)$ , $(7; 1)$ , $(8; 6)$ , $(9; 5)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20