ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Среди четырёх последовательных чисел нет нуля: его первая цифра $0$, а на ноль делить нельзя. Поэтому числа либо все положительные, либо все отрицательные; у отрицательных все частные отрицательны, а суммы в пунктах а) и б) положительные. Значит, дальше все числа натуральные.

Пусть $b$ — $n$-значное число с первой цифрой $a$. Тогда $a\cdot 10^{n-1}⩽b$, поэтому

$$\frac{b}{a}⩾10^{n-1}.$$

В частности, для четырёхзначного числа частное не меньше $1000$.

а) Да, могло. Возьмём числа $89,90,91,92$:

$$\frac{89}{8}+\frac{90}{9}+\frac{91}{9}+\frac{92}{9}=11\frac{1}{8}+10+10\frac{1}{9}+10\frac{2}{9}=41+\frac{1}{8}+\frac{1}{3}=41+\frac{3+8}{24}=41\frac{11}{24}.$$

б) Нет, не могло. Запишем сумму неправильной дробью:

$$569\frac{29}{72}=\frac{40997}{72}.$$

Эта дробь несократима, так как $72=2^3\cdot 3^2$, а $29$ не делится ни на $2$, ни на $3$.

Шаг 1. Четырёхзначных и более длинных чисел среди данных нет: частное такого числа не меньше $1000>569\frac{29}{72}$, а остальные частные положительны.

Шаг 2. Пусть $a_1,a_2,a_3,a_4$ — первые цифры чисел, $L$ — их наименьшее общее кратное. Каждое частное $\frac{b}{a_i}$ можно записать со знаменателем $L$, поэтому сумма равна $\frac{P}{L}$ для некоторого целого $P$. Из $\frac{P}{L}=\frac{40997}{72}$ получаем $72P=40997L$; так как $40997$ и $72$ взаимно просты, $L$ делится на $72$, то есть на $8$ и на $9$. Из цифр на $8$ делится только $8$, а на $9$ — только $9$. Значит, среди первых цифр есть и $8$, и $9$.

Шаг 3. Числа с первыми цифрами $8$ и $9$ отличаются не больше чем на $3$, поэтому у них одинаковое количество цифр (числа с разным количеством цифр и первыми цифрами $8$ и $9$ отличаются хотя бы на $80-9=71$), а между ними (включительно) стоят соседние числа вида $\overline{8\dots 9}$ и $\overline{9\dots 0}$. С учётом шага 1 это пары $8$ и $9$, $89$ и $90$ или $899$ и $900$.

Шаг 4. Оценим сумму в каждом случае.

• Есть $8$ и $9$: все четыре числа лежат от $6$ до $11$, каждое частное не больше самого числа, то есть не больше $11$, а сумма не больше $44$.
• Есть $89$ и $90$: все числа лежат от $87$ до $92$, их первые цифры $8$ или $9$, каждое частное меньше $\frac{100}{8}=12,5$, а сумма меньше $50$.
• Есть $899$ и $900$: все числа лежат от $897$ до $902$, первые цифры $8$ или $9$, каждое частное не больше $\frac{902}{8}<113$, а сумма меньше $452$.

Во всех случаях сумма меньше $569\frac{29}{72}$ — противоречие.

в) Оценка. Пусть даны числа $n,n+1,n+2,n+3$ от $400$ до $999$.

Случай 1: у всех четырёх чисел одна и та же первая цифра $x$, $4⩽x⩽9$. Сумма равна

$$\frac{n}{x}+\frac{n+1}{x}+\frac{n+2}{x}+\frac{n+3}{x}=\frac{4n+6}{x}.$$

При $x=4$ числитель $4n+6$ даёт остаток $2$ при делении на $4$, и сумма не целая. Значит, для целой суммы $x⩾5$. Наибольшее число $n+3$ не больше $100x+99$, поэтому $n⩽100x+96$ и

$$\frac{4n+6}{x}⩽\frac{4(100x+96)+6}{x}=400+\frac{390}{x}⩽400+\frac{390}{5}=478.$$

Случай 2: среди чисел есть разные первые цифры. У трёхзначных чисел первая цифра меняется только при переходе от $\overline{(x-1)99}$ к $\overline{x00}$, поэтому среди данных есть число $\overline{x00}$, причём $x⩾5$, так как $\overline{(x-1)99}⩾400$. Его частное равно $\frac{100x}{x}=100$. Частное любого другого числа $b$ с первой цифрой $a⩾4$ не больше

$$\frac{100a+99}{a}=100+\frac{99}{a}⩽100+\frac{99}{4}<125.$$

Тогда вся сумма меньше $100+3\cdot 125=475<478$.

Итак, целая сумма не больше $478$.

Пример. Числа $596,597,598,599$:

$$\frac{596+597+598+599}{5}=\frac{2390}{5}=478.$$

Значит, значение $478$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $478$.