ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Если в первый день решено $s$ задач, а каждый следующий день — на $d$ больше, то за $n$ дней по формуле суммы арифметической прогрессии решено

$$\frac{2s+d(n-1)}{2}\cdot n$$

задач. Оба мальчика решили весь сборник, поэтому их суммы равны количеству задач в сборнике.

а) Да, могло. Пусть Вася в первый день решил $x⩾1$ задач, а Петя — $x+1$. Запишем, сколько задач они решали в первые $5$ дней:

$$\begin{array}{cccccc}\text{День}& 1& 2& 3& 4& 5\\ \text{Петя}& x+1& x+3& x+5& x+7& x+9\\ \text{Вася}& x& x+1& x+2& x+3& x+4\end{array}$$

Петя за $5$ дней решил $5x+25$ задач — это весь сборник. Вася за те же дни решил $5x+10$, то есть ему осталось $15$ задач. Начиная с шестого дня он решает $x+5$, $x+6$, … задач. Число $15$ — сумма двух последовательных чисел $7+8$, поэтому подойдёт $x+5=7$, то есть $x=2$.

Пример: в сборнике $35$ задач. Петя решал по $3,5,7,9,11$ задач — ровно $5$ дней, всего $35$. Вася решал по $2,3,4,5,6,7,8$ задач — всего $35$. В первый день Вася решил $2$ задачи, на одну меньше, чем Петя. Все условия выполнены.

б) Нет, не могло. Пусть Петя в первый день решил $x⩾1$ задач, а Вася — $x+1$. Петя решил весь сборник за $4$ дня:

$$\begin{array}{ccccc}\text{День}& 1& 2& 3& 4\\ \text{Петя}& x& x+2& x+4& x+6\\ \text{Вася}& x+1& x+2& x+3& x+4\end{array}$$

В сборнике $4x+12$ задач. Вася за $4$ дня решил $4x+10$ задач — меньше, чем в сборнике, значит, он решал и пятый день. Но за $5$ дней он решил бы $4x+10+(x+5)=5x+15$ задач, а это больше, чем $4x+12$, так как $x+3>0$. Количество задач, решённых Васей, растёт с каждым днём, поэтому ровно $4x+12$ у него не получится ни за какое число дней — противоречие.

в) Пример. Пусть в сборнике $84$ задачи. Петя решал по $6,8,10,12,14,16,18$ задач — $7$ дней, всего

$$\frac{6+18}{2}\cdot 7=84.$$

Вася решал по $7,8,\dots ,14$ задач — $8$ дней, всего

$$\frac{7+14}{2}\cdot 8=84.$$

Каждый решал больше $6$ дней, и в первый день Вася решил на одну задачу больше Пети. Все условия выполнены.

Оценка. Докажем, что задач не может быть меньше $84$. Пусть в сборнике $N⩽83$ задач, Петя решал $m⩾7$ дней и в первый день решил $p⩾1$ задач. Тогда

$$N=\frac{2p+2(m-1)}{2}\cdot m=mp+m(m-1).$$

• При $m=7$: $N=7p+42⩽83$, откуда $p⩽5$.
• При $m=8$: $N=8p+56⩽83$, откуда $p⩽3$.
• При $m=9$: $N=9p+72⩽83$, откуда $p=1$.
• При $m⩾10$: $N⩾10\cdot 1+10\cdot 9=100>83$.

Теперь Вася. Он начал с $v=p\pm 1$ задач ($v⩾1$). Обозначим $T_j=1+2+\dots +j=\frac{j(j+1)}{2}$ — треугольные числа, $T_0=0$. Если Вася решал $n$ дней, то он решил

$$v+(v+1)+\dots +(v+n-1)=T_{v+n-1}-T_{v-1}$$

задач. Значит, число $N+T_{v-1}$ обязано быть треугольным. Выпишем треугольные числа до $100$:

$$1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91.$$

Проверим все варианты:

$$\begin{array}{ccccc}m& p& N& v& N+T_{v-1}\\ 7& 1& 49& 2& 50\\ 7& 2& 56& 1;3& 56;59\\ 7& 3& 63& 2;4& 64;69\\ 7& 4& 70& 3;5& 73;80\\ 7& 5& 77& 4;6& 83;92\\ 8& 1& 64& 2& 65\\ 8& 2& 72& 1;3& 72;75\\ 8& 3& 80& 2;4& 81;86\\ 9& 1& 81& 2& 82\end{array}$$

Ни одно из чисел последнего столбца не треугольное. Значит, при $N⩽83$ Вася не может решить ровно весь сборник, и задач в сборнике не меньше $84$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $84$.