ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть $N=\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a,b,c$ — цифры: $1⩽a⩽9$, $0⩽b,c⩽9$.

а) Да, может. Найдём такое число. Равенство $\frac{N}{a+b+c}=20$ означает

$$100a+10b+c=20a+20b+20c\iff 80a-10b=19c\iff 10(8a-b)=19c.$$

Левая часть делится на $10$, а $19$ и $10$ взаимно просты, поэтому $c$ делится на $10$, то есть $c=0$. Тогда $8a=b$, а так как $b⩽9$, то $a=1$, $b=8$.

Пример: $N=180$. Сумма цифр $1+8+0=9$, и $180:9=20$.

б) Нет, не может. Предположим, что $N=81(a+b+c)$. Тогда $N$ делится на $81$, а значит, и на $9$. По признаку делимости на $9$ сумма цифр $a+b+c$ делится на $9$.

С другой стороны, $a+b+c=\frac{N}{81}⩽\frac{999}{81}<13$. Единственное число от $1$ до $12$, кратное $9$, — это $9$. Значит, $a+b+c=9$ и $N=81\cdot 9=729$. Но сумма цифр числа $729$ равна $7+2+9=18\ne 9$ — противоречие.

в) Пример. Возьмём число $198$: сумма цифр $1+9+8=18$, и $198:18=11$. Значит, частное $11$ достигается.

Оценка. Докажем, что натуральное частное не может быть меньше $11$. Пусть $\frac{N}{a+b+c}=k$, где $k⩽10$ — натуральное число. Тогда

$$100a+10b+c=k(a+b+c)\iff (100-k)a+(10-k)b=(k-1)c.$$

Оценим левую часть. Так как $k⩽10$, то $100-k⩾90$, а $a⩾1$, поэтому $(100-k)a⩾90$. Кроме того, $10-k⩾0$ и $b⩾0$, поэтому $(10-k)b⩾0$. Значит, левая часть не меньше $90$.

Оценим правую часть: $k-1⩽9$ и $c⩽9$, поэтому $(k-1)c⩽81$.

Получили, что левая часть не меньше $90$, а правая не больше $81$, — равенство невозможно. Значит, натуральное частное не меньше $11$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $11$.