ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть $a$ — сторона квадрата. Парный ему прямоугольник имеет ширину $a-5$ и длину $b$, и площади равны:

$$a^2=(a-5)b.$$

Это же равенство связывает любой прямоугольник с парным квадратом: если ширина прямоугольника $w$, а длина $b$, то сторона квадрата $a=w+5$, и $a^2=wb=(a-5)b$. Заметим, что $b=\frac{a^2}{a-5}>a>a-5$, так что ширина действительно меньшая сторона.

а) Нет, не может. Если ширина прямоугольника $15$, то сторона парного квадрата $a=20$, и длина $b=\frac{400}{15}=\frac{80}{3}$ — не натуральное число. Противоречие.

б) Да, может. Если длина $b=36$, то

$$a^2=36(a-5)\iff a^2-36a+180=0\iff a=6\text{или}a=30.$$

Пример: на столе лежат квадрат $6\times 6$ и прямоугольник $1\times 36$. Для квадрата есть прямоугольник шириной $6-5=1$ той же площади $36$. Для прямоугольника есть квадрат со стороной $1+5=6$ той же площади. Условия выполнены, и длина прямоугольника равна $36$.

в) Выразим $b$ и выделим целую часть:

$$b=\frac{a^2}{a-5}=\frac{(a^2-25)+25}{a-5}=a+5+\frac{25}{a-5}.$$

Числа $a$ и $b$ натуральные и $a-5⩾1$, поэтому $a-5$ — натуральный делитель числа $25$: $1$, $5$ или $25$. Получаем три возможные пары:

• $a=6$: квадрат $6\times 6$ и прямоугольник $1\times 36$;
• $a=10$: квадрат $10\times 10$ и прямоугольник $5\times 20$;
• $a=30$: квадрат $30\times 30$ и прямоугольник $25\times 36$.

Оценка. Каждый квадрат на столе имеет парный прямоугольник, значит, это один из трёх квадратов $6\times 6$, $10\times 10$, $30\times 30$. Каждый прямоугольник имеет парный квадрат, значит, это один из трёх прямоугольников $1\times 36$, $5\times 20$, $25\times 36$. Поэтому различных фигур не больше $6$.

Пример. Положим на стол все шесть фигур. Каждая из них имеет на столе пару из списка выше, поэтому условия выполнены, и на столе $6$ различных фигур.

Ответ: а) нет; б) да; в) $6$.