ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть в группе $x$ юношей и $x$ девушек, и $a$ юношей отправили по $21$ письму, а остальные $x-a$ — по $4$ письма. По условию $a⩾2$ и $x-a⩾2$. Всего отправлено

$$21a+4(x-a)=17a+4x$$

писем. Так как юноша может отправить одной девушке несколько писем, письма можно распределять между девушками как угодно.

а) Да, могло. Если каждая девушка получила $7$ писем, то $17a+4x=7x$, то есть $17a=3x$. Подходят $a=3$, $x=17$.

Пример: в группе $17$ юношей и $17$ девушек, $3$ юноши отправили по $21$ письму, $14$ юношей — по $4$ письма. Всего писем $3\cdot 21+14\cdot 4=63+56=119=17\cdot 7$. Выстроим все письма в ряд (сначала письма первого юноши, потом второго и так далее) и раздадим подряд: первые $7$ — первой девушке, следующие $7$ — второй, …, последние $7$ — семнадцатой. Каждая девушка получит ровно $7$ писем, и тех, и других юношей не меньше двух.

б) Оценка. Пусть каждая девушка получила $n$ писем. Тогда

$$xn=17a+4x\iff x(n-4)=17a.$$

Значит, $17a$ делится на $x$. Предположим, что $x<17$. Число $17$ простое, поэтому $x$ и $17$ взаимно просты, и тогда $a$ делится на $x$. Но $1⩽a⩽x-2<x$ — натуральное число, меньшее $x$, на $x$ не делится. Противоречие. Значит, $x⩾17$.

Пример. В пункте а) построена группа с $17$ девушками, получившими поровну писем.

в) Оценка. Упорядочим девушек по числу полученных писем. Числа различны и неотрицательны, поэтому самая «бедная» девушка получила не меньше $0$ писем, следующая — не меньше $1$, …, последняя — не меньше $x-1$. Всего писем не меньше

$$0+1+\dots +(x-1)=\frac{x(x-1)}{2}.$$

С другой стороны, писем $17a+4x$, где $a⩽x-2$, то есть не больше $17(x-2)+4x=21x-34$. Получаем

$$\frac{x(x-1)}{2}⩽21x-34\iff x^2-x⩽42x-68\iff x^2-43x+68⩽0.$$

Если $x⩾42$, то $x(x-43)⩾-42$ (при $x=42$ это $-42$, при $x⩾43$ — неотрицательно), и

$$x^2-43x+68=x(x-43)+68⩾-42+68=26>0$$

— противоречие. Значит, $x⩽41$.

Пример. Пусть $x=41$: $39$ юношей отправили по $21$ письму, $2$ юноши — по $4$ письма. Всего писем $39\cdot 21+2\cdot 4=819+8=827$. Пусть $40$ девушек получили $0,1,2,\dots ,39$ писем (всего $\frac{39\cdot 40}{2}=780$), а последняя — $827-780=47$ писем. Все $41$ количество различны. Такое распределение возможно: выстроим письма в ряд и раздадим подряд нужное количество каждой девушке. Тех и других юношей не меньше двух.

Ответ: а) да; б) $17$; в) $41$.