ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Да, является. В множестве $100$ подряд идущих чисел. Разобьём их на $50$ пар с одинаковой суммой $299$:

$$\{100;199\},\{101;198\},\{102;197\},\dots ,\{149;150\}.$$

В первое подмножество положим числа из любых $25$ пар, во второе — из остальных $25$ пар. Суммы подмножеств равны: каждая $25\cdot 299=7475$.

б) Нет, не является. Сумма всех элементов, кроме наибольшего, — сумма геометрической прогрессии с первым членом $2$, знаменателем $2$ и $199$ членами:

$$2+4+\dots +2^{199}=\frac{2(2^{199}-1)}{2-1}=2^{200}-2<2^{200}.$$

При любом разбиении на два подмножества сумма того из них, где лежит $2^{200}$, не меньше $2^{200}$, а сумма другого не больше $2^{200}-2$. Равными они быть не могут.

в) Пусть четырёхэлементное подмножество хорошее. Все числа положительны, поэтому обе части разбиения непусты, и возможны два вида равенства:

$$a+b+c=d\text{или}a+b=c+d.$$

В обоих случаях сумма всех четырёх чисел чётна (она равна удвоенной сумме одной части). В исходном множестве нечётных чисел два: $3$ и $5$. Значит, хорошее подмножество содержит либо оба этих числа, либо ни одного.

Вид $a+b+c=d$. Сумма любых трёх различных элементов множества не меньше $3+4+5=12$, а наибольший элемент равен $12$. Значит, равенство возможно только как $3+4+5=12$. Это подмножество $\{3;4;5;12\}$.

Вид $a+b=c+d$, подмножество содержит $3$ и $5$. Если $3$ и $5$ в одной части, то $3+5=8$, а сумма двух других элементов не меньше $4+6=10$ — так не бывает. Значит, они в разных частях: $3+a=5+c$, то есть $a-c=2$, где $a$, $c$ — из чисел $4,6,8,10,12$. Подходят пары $(6;4)$, $(8;6)$, $(10;8)$, $(12;10)$, и получаем $4$ подмножества:

$$\{3;4;5;6\}:3+6=5+4;\{3;5;6;8\}:3+8=5+6;\{3;5;8;10\}:3+10=5+8;\{3;5;10;12\}:3+12=5+10.$$

Подмножество $\{3;4;5;12\}$ среди них не встречается, так что повторов нет.

Подмножество без $3$ и $5$. Тогда это четыре числа из $\{4;6;8;10;12\}$, то есть все, кроме одного. Все они чётные, поэтому сумма каждой части чётна, а сумма всех четырёх чисел делится на $4$. Сумма всех пяти чисел равна $40$. Если убрать $6$ или $10$, останется сумма $34$ или $30$ — не делится на $4$. Если убрать $4$, $8$ или $12$, подмножества хорошие:

$$\{6;8;10;12\}:8+10=6+12;\{4;6;10;12\}:6+10=4+12;\{4;6;8;10\}:4+10=6+8.$$

Это ещё $3$ подмножества. Всего хороших четырёхэлементных подмножеств

$$1+4+3=8.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $8$.