Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2016 развёрнутое

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка $[23; 84] .$ Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.

а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?

б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?

в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть Вася взял числа $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ . Тогда отношение Петиного результата к Васиному равно

$\frac{( a _{1} + 1 ) ( a _{2} + 1 ) \dots ( a _{k} + 1 )}{a _{1} a _{2} \dots a _{k}} = \frac{a _{1} + 1}{a _{1}} \cdot \frac{a _{2} + 1}{a _{2}} \cdot \dots \cdot \frac{a _{k} + 1}{a _{k}} .$

а) Да, может. Пусть Вася перемножил все числа от $23$ до $45$ . Тогда Петя перемножил все числа от $24$ до $46$ , и отношение равно

$\frac{24 \cdot 25 \cdot \dots \cdot 46}{23 \cdot 24 \cdot \dots \cdot 45} = \frac{46}{23} = 2,$

так как все множители от $24$ до $45$ сокращаются.

б) Нет, не может. Каждая дробь $\frac{a + 1}{a}$ больше $1$ . Поэтому если Вася возьмёт дополнительно ещё одно число из отрезка, отношение увеличится. Значит, наибольшее отношение получается, когда Вася берёт все числа от $23$ до $84$ . В этом случае

$\frac{24}{23} \cdot \frac{25}{24} \cdot \dots \cdot \frac{85}{84} = \frac{85}{23} = 3 \frac{16}{23} .$

Итак, при любом выборе Васи отношение не больше $\frac{85}{23} < 4 < 6$ , и в $6$ раз Петин результат быть больше не может.

в) Оценка. По пункту б) отношение не больше $\frac{85}{23} < 4$ . Значит, целое отношение не больше $3$ .

Пример. Пусть Вася перемножил все числа от $23$ до $68$ . Петя перемножил числа от $24$ до $69$ , и отношение равно

$\frac{24 \cdot 25 \cdot \dots \cdot 69}{23 \cdot 24 \cdot \dots \cdot 68} = \frac{69}{23} = 3.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20