Есть 2 камня, каждый массой 100 тонн, 6 камней, каждый массой 20… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом сложная 2027 развёрнутое

Есть 2 камня, каждый массой 100 тонн, 6 камней, каждый массой 20 тонн, и 4 камня, каждый массой 4 тонны.

a) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 12 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 12 тонн меньше суммарной массы третьей группы?

б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?

в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$ так, что $m_{1} ⩾ m_{2} ⩾ m_{3} .$ Найдите такое наименьшее число $d,$ что $m_{1} - m_{2} ⩽ d$ и $m_{2} - m_{3} ⩽ d .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Общая масса камней:

$2 \cdot 100 + 6 \cdot 20 + 4 \cdot 4 = 200 + 120 + 16 = 336 т .$

Полезное наблюдение. Массы камней по $100$ т и по $20$ т делятся на $20$ . Если в группе $k$ камней по $4$ т ( $0 ⩽ k ⩽ 4$ ), то масса группы равна (число, кратное $20$ ) $+ 4 k$ , а $4 k \in {0; 4; 8; 12; 16}$ меньше $20$ . Значит, остаток массы группы при делении на $20$ равен ровно $4 k$ .

а) Да, можно. Если масса первой группы $x$ т, то второй $x - 12$ т, третьей $x + 12$ т, и $3 x = 336$ , $x = 112$ . Нужны группы массой $112$ , $100$ и $124$ т. Пример:

первая группа: камень $100$ т и три камня по $4$ т, масса $100 + 12 = 112$ т;
вторая группа: камень $100$ т, масса $100$ т;
третья группа: шесть камней по $20$ т и камень $4$ т, масса $120 + 4 = 124$ т.

Все $12$ камней использованы, и $112 = 100 + 12$ , $112 = 124 - 12$ .

б) Нет, нельзя. Если массы групп равны, то каждая равна $336 : 3 = 112$ т. Остаток $112$ при делении на $20$ равен $12$ , поэтому в каждой группе ровно $k = 3$ камня по $4$ т. Тогда таких камней нужно $9$ , а их всего $4$ — противоречие.

в) Нужно найти наименьшее $d$ , при котором камни можно разложить так, что $m_{1} - m_{2} ⩽ d$ и $m_{2} - m_{3} ⩽ d$ . Иначе говоря, ищем наименьшее возможное значение большей из двух разностей.

Оценка. Массы всех камней делятся на $4$ , поэтому $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ и их разности делятся на $4$ . Предположим, что можно добиться $m_{1} - m_{2} < 8$ и $m_{2} - m_{3} < 8$ . Тогда каждая разность равна $0$ или $4$ . Обозначим $m_{3} = m$ и разберём четыре случая.

Обе разности равны $0$ : все массы равны $112$ — невозможно по пункту б).
$m_{1} - m_{2} = 4$ , $m_{2} - m_{3} = 0$ : тогда $3 m + 4 = 336$ , $m = \frac{332}{3}$ — не целое.
$m_{1} - m_{2} = 0$ , $m_{2} - m_{3} = 4$ : тогда $3 m + 8 = 336$ , $m = \frac{328}{3}$ — не целое.
Обе разности равны $4$ : тогда $3 m + 12 = 336$ , $m = 108$ , массы групп $116$ , $112$ , $108$ т. Остаток $116$ при делении на $20$ равен $16$ , значит, в этой группе $4$ камня по $4$ т. Остаток $112$ равен $12$ , значит, в этой группе ещё $3$ таких камня. Всего нужно $7$ камней по $4$ т, а их $4$ — противоречие.

Значит, хотя бы одна разность не меньше $8$ , и $d ⩾ 8$ .

Пример. Первая группа: камни $100$ и $20$ т, масса $120$ т. Вторая группа: камень $100$ т и три камня по $4$ т, масса $112$ т. Третья группа: пять камней по $20$ т и камень $4$ т, масса $104$ т. Использованы оба камня по $100$ т, $1 + 5 = 6$ камней по $20$ т и $3 + 1 = 4$ камня по $4$ т. Разности $120 - 112 = 8$ и $112 - 104 = 8$ , то есть при $d = 8$ условие выполняется.

Ответ: а) да; б) нет; в) $8$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20