ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Упорядочим числа по возрастанию: $a_1<a_2<\dots <a_{60}$. Сумма любых двух чисел не меньше суммы двух наименьших $a_1+a_2$, а сумма любых шести чисел не больше суммы шести наибольших $a_{55}+a_{56}+\dots +a_{60}$. Поэтому условие задачи равносильно одному неравенству

$$a_1+a_2>a_{55}+a_{56}+a_{57}+a_{58}+a_{59}+a_{60}.(\ast )$$

Действительно, $(\ast )$ — частный случай условия (взяли два наименьших и шесть наибольших чисел). И наоборот, если $(\ast )$ верно, то для любых двух и любых шести чисел

$$\text{сумма шести}⩽a_{55}+\dots +a_{60}<a_1+a_2⩽\text{сумма двух}.$$

а) Да, может. Пример: числа $-458,-457,\dots ,-401,-400$ (это $59$ чисел подряд) и число $400$. Всего $60$ различных целых чисел, среди них есть $-400$. Сумма двух наименьших:

$$-458+(-457)=-915.$$

Сумма шести наибольших:

$$-404-403-402-401-400+400=-1610.$$

Так как $-1610<-915$, неравенство $(\ast )$ выполнено, и набор подходит.

б) Да, может. Подходит тот же набор из пункта а): в нём есть число $400$, и условие проверено.

в) Оценка. Обозначим $t=a_{55}$. Числа целые и различные, поэтому каждое следующее хотя бы на $1$ больше предыдущего:

$$a_{54}⩽t-1,a_{53}⩽t-2,\dots ,a_2⩽t-53,a_1⩽t-54;a_{56}⩾t+1,\dots ,a_{60}⩾t+5.$$

Подставим эти оценки в $(\ast )$:

$$6t+15⩽a_{55}+\dots +a_{60}<a_1+a_2⩽2t-107.$$

Отсюда $4t<-122$, $t<-30,5$, а так как $t$ целое, $t⩽-31$.

Теперь оценим сумму всех чисел по частям. Первые $55$ чисел:

$$a_1+a_2+\dots +a_{55}⩽(t-54)+(t-53)+\dots +t=55t-(0+1+\dots +54)=55t-1485.$$

Последние пять чисел: из $(\ast )$

$$a_{56}+\dots +a_{60}<a_1+a_2-a_{55}⩽(2t-107)-t=t-107,$$

а так как слева целое число, $a_{56}+\dots +a_{60}⩽t-108$. Сложим:

$$a_1+\dots +a_{60}⩽55t-1485+t-108=56t-1593⩽56\cdot (-31)-1593=-3329.$$

Пример. Все оценки обращаются в равенство при $t=-31$, если первые $55$ чисел идут подряд до $-31$, а сумма последних пяти равна $t-108=-139$. Возьмём

$$-85,-84,\dots ,-32,-31,-30,-29,-28,-27,-25.$$

Это $60$ различных целых чисел. Сумма двух наименьших $-85-84=-169$, сумма шести наибольших

$$-31-30-29-28-27-25=-170<-169,$$

так что $(\ast )$ выполнено. Сумма чисел от $-85$ до $-31$ равна $\frac{-85+(-31)}{2}\cdot 55=-58\cdot 55=-3190$, сумма последних пяти равна $-139$, а всего

$$-3190-139=-3329.$$

Ответ: а) да; б) да; в) $-3329$.