ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Все числа на доске лежат от $6$ до $45$. После уменьшения на $1$ стираются ровно те числа, которые были равны $6$.

а) Да, могло. Пример: $19$ чисел $6$ и одно число $26$. Все числа больше $5$ и не больше $45$. Сначала среднее равно

$$\frac{19\cdot 6+26}{20}=\frac{140}{20}=7.$$

После уменьшения девятнадцать шестёрок станут пятёрками и будут стёрты, останется одно число $25$. Новое среднее $25>7$ — оно увеличилось.

Для пунктов б) и в) пусть сначала среднее равно $32$. Тогда сумма всех чисел $20\cdot 32=640$. Пусть среди чисел $x$ шестёрок. После уменьшения их сотрут, останутся $20-x$ чисел, каждое уменьшено на $1$. Их сумма

$$640-6x-(20-x)=620-5x,$$

а новое среднее

$$S=\frac{620-5x}{20-x}=\frac{100-5x+520}{20-x}=5+\frac{520}{20-x}.$$

б) Нет, не могло. Если $S=39$, то

$$\frac{620-5x}{20-x}=39\iff 620-5x=780-39x\iff 34x=160\iff x=\frac{80}{17}.$$

Число $x$ — количество чисел, оно должно быть целым. Противоречие.

в) Оценка. Из формулы $S=5+\frac{520}{20-x}$ видно, что $S$ растёт с ростом $x$, поэтому нужно ограничить $x$ сверху. Все оставшиеся числа после уменьшения не больше $44$, значит, и их среднее $S⩽44$:

$$\frac{620-5x}{20-x}⩽44.$$

Так как $20-x>0$ (на доске что-то осталось, иначе среднее не определено), умножим на $20-x$:

$$620-5x⩽880-44x\iff 39x⩽260\iff x⩽\frac{20}{3}.$$

Число $x$ целое, поэтому $x⩽6$, и

$$S⩽5+\frac{520}{14}=5+\frac{260}{7}=\frac{295}{7}.$$

Пример. Возьмём $6$ чисел $6$, $13$ чисел $45$ и одно число $19$. Всего $20$ чисел, все от $6$ до $45$, сумма $36+585+19=640$, среднее $32$. После уменьшения шестёрки сотрут, останутся $13$ чисел $44$ и число $18$. Их сумма $572+18=590$, среднее

$$\frac{590}{14}=\frac{295}{7}.$$

Значит, значение $\frac{295}{7}$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{295}{7}$.