ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

а) Нет, не может. Предположим, что девочка $Y_1$ набрала $y_1$ грибов, мальчик $X_1$ — $x_1$ грибов и $y_1<x_1$. Возьмём ещё трёх девочек $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$ и пятерых мальчиков $X_2,\dots ,X_6$ (все дети разные). По условию пять мальчиков набрали больше, чем три девочки:

$$y_2+y_3+y_4<x_2+x_3+x_4+x_5+x_6.$$

Сложим это неравенство с $y_1<x_1$:

$$y_1+y_2+y_3+y_4<x_1+x_2+\dots +x_6.$$

С другой стороны, любые две девочки набрали больше, чем любые три мальчика:

$$y_1+y_2>x_1+x_2+x_3,y_3+y_4>x_4+x_5+x_6.$$

Сложив их, получим $y_1+y_2+y_3+y_4>x_1+x_2+\dots +x_6$ — противоречие с предыдущим неравенством. Значит, каждая девочка набрала не меньше грибов, чем каждый мальчик.

б) Да, может. Пусть мальчики набрали $1000,1001,\dots ,1009$ грибов, а девочки — $1600,1601,\dots ,1606$. Все $17$ чисел различны.

Проверим первое условие. Наименьшая сумма для двух девочек: $1600+1601=3201$. Наибольшая сумма для трёх мальчиков: $1007+1008+1009=3024$. Так как $3201>3024$, любые две девочки набрали больше любых трёх мальчиков.

Проверим второе условие. Наименьшая сумма для пяти мальчиков: $1000+1001+\dots +1004=5010$. Наибольшая сумма для трёх девочек: $1604+1605+1606=4815$. Так как $5010>4815$, любые пять мальчиков набрали больше любых трёх девочек.

в) Упорядочим количества грибов: у мальчиков $x_1⩽x_2⩽\dots ⩽x_{10}$, у девочек $y_1⩽y_2⩽\dots ⩽y_7$. Применим условие к двум самым «бедным» девочкам и трём самым удачливым мальчикам, а также к пяти самым «бедным» мальчикам и трём самым удачливым девочкам. Количества грибов — целые числа, поэтому строгие неравенства можно усилить на $1$:

$$y_1+y_2⩾x_8+x_9+x_{10}+1,(1)$$

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5⩾y_5+y_6+y_7+1.(2)$$

Оценка для мальчиков: $x_1⩾5$. Справедливо неравенство

$$3(y_1+y_2)⩽2(y_5+y_6+y_7):$$

слева шесть слагаемых ($y_1$ и $y_2$ по три раза), справа тоже шесть ($y_5$, $y_6$, $y_7$ по два раза), и каждое слагаемое слева не больше $y_2$, а каждое справа не меньше $y_5⩾y_2$. Умножим $(1)$ на $3$, $(2)$ на $2$ и соединим в цепочку:

$$3(x_8+x_9+x_{10})+3⩽3(y_1+y_2)⩽2(y_5+y_6+y_7)⩽2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-2.$$

Значит, $3(x_8+x_9+x_{10})+5⩽2(x_1+\dots +x_5)$. Кроме того,

$$x_1+2(x_2+x_3+x_4+x_5)⩽3(x_8+x_9+x_{10}),$$

так как слева и справа по девять слагаемых и каждое слева не больше $x_5$, а каждое справа не меньше $x_8$. Поэтому $2(x_1+\dots +x_5)⩽x_1+3(x_8+x_9+x_{10})$, и

$$3(x_8+x_9+x_{10})+5⩽x_1+3(x_8+x_9+x_{10})\Rightarrow x_1⩾5.$$

Каждый мальчик набрал не меньше $5$ грибов.

Оценка для девочек: $y_1⩾8$. Аналогично $3(x_1+\dots +x_5)⩽5(x_8+x_9+x_{10})$: по $15$ слагаемых с каждой стороны, каждое слева не больше каждого справа. Умножим $(2)$ на $3$, $(1)$ на $5$:

$$3(y_5+y_6+y_7)+3⩽3(x_1+\dots +x_5)⩽5(x_8+x_9+x_{10})⩽5(y_1+y_2)-5.$$

Значит, $3(y_5+y_6+y_7)+8⩽5y_1+5y_2$. Кроме того, $4y_1+5y_2⩽3(y_5+y_6+y_7)$ — по девять слагаемых, каждое слева не больше $y_2$, каждое справа не меньше $y_5$. Поэтому $5y_1+5y_2⩽y_1+3(y_5+y_6+y_7)$, и

$$3(y_5+y_6+y_7)+8⩽y_1+3(y_5+y_6+y_7)\Rightarrow y_1⩾8.$$

Каждая девочка набрала не меньше $8$ грибов. Итак, всего грибов не меньше $10\cdot 5+7\cdot 8=106$.

Пример. Пусть каждый мальчик набрал $5$ грибов, а каждая девочка — $8$. Любые две девочки набрали $16$ грибов, любые три мальчика — $15$, и $16>15$. Любые пять мальчиков набрали $25$ грибов, любые три девочки — $24$, и $25>24$. Условия выполнены, а всего собрано $50+56=106$ грибов.

Ответ: а) нет; б) да; в) $106$.