ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Общее количество воды при переливаниях не меняется. Поэтому в конце в каждой бочке должно быть среднее количество — общий объём, делённый на число бочек.

Полезное наблюдение: если в бочке меньше среднего, то в неё нужно хотя бы раз налить воду. За одно переливание вода добавляется ровно в одну бочку. Значит, переливаний не меньше, чем бочек, в которых воды меньше среднего.

а) Да, можно. Всего воды $29+32+40+91=192$ л, в конце в каждой бочке должно быть $192:4=48$ л. Будем доливать бочки по очереди.

1. В первой бочке не хватает $48-29=19$ л. Перельём их из второй бочки. Стало $48$, $13$, $40$, $91$.
2. Во второй бочке не хватает $48-13=35$ л. Перельём их из третьей. Стало $48$, $48$, $5$, $91$.
3. В третьей бочке не хватает $48-5=43$ л. Перельём их из четвёртой. Стало $48$, $48$, $48$, $48$.

Хватило трёх переливаний, это не больше четырёх.

б) Нет, не всегда. Пример: в шести бочках по $1$ л, в седьмой $8$ л. Всего $14$ л, в конце в каждой бочке должно быть $14:7=2$ л. В шести бочках меньше среднего, в каждую нужно хотя бы раз налить воду, а за одно переливание вода попадает только в одну бочку. Значит, нужно не меньше шести переливаний, пяти не хватит.

в) Оценка: меньше $25$ переливаний может не хватить. Пусть в $25$ бочках по $1$ л, а в одной $27$ л. Всего $52$ л, в конце должно быть по $52:26=2$ л. В $25$ бочках меньше среднего, и в каждую нужно что-то налить, поэтому переливаний не меньше $25$.

Пример: $25$ переливаний хватает всегда. Пусть всего $26x$ литров, то есть в конце в каждой бочке должно быть $x$ литров. Будем действовать так. Если ещё не во всех бочках по $x$ литров, то есть бочка, где меньше $x$ литров, и бочка, где больше $x$ литров: если бы во всех было не больше $x$ и где-то меньше, то всего воды было бы меньше $26x$.

Пусть в первой из этих бочек $a<x$ литров, во второй $b>x$ литров. Перельём из второй бочки в первую $x-a$ литров — это можно, так как $x-a<x<b$. Теперь в первой бочке ровно $x$ литров. Бочки, где уже было ровно $x$ литров, мы не трогали, а вторая бочка до переливания содержала не $x$ литров. Значит, каждое такое переливание увеличивает число бочек с $x$ литрами хотя бы на одну.

После не более чем $25$ переливаний в $25$ бочках будет ровно по $x$ литров. Тогда в последней бочке $26x-25x=x$ литров, и все бочки уравнены.

Итак, $25$ переливаний всегда достаточно, а меньшего числа в некоторых случаях не хватает.

Ответ: а) да; б) нет; в) $25$.