Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел сложная 2026 развёрнутое

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\frac{3}{8}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\frac{7}{17}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Сначала перепишем условия задачи в удобном виде. Пусть театр посетили $m_{1}$ мальчиков и $d_{1}$ девочек. Условие «мальчиков не более $\frac{3}{8}$ от посетивших театр» означает

$\frac{m _{1}}{m _{1} + d _{1}} ⩽ \frac{3}{8} \Leftrightarrow 8 m_{1} ⩽ 3 m_{1} + 3 d_{1} \Leftrightarrow m_{1} ⩽ \frac{3}{5} d_{1} .$

Пусть кино посетили $m_{2}$ мальчиков и $d_{2}$ девочек. Аналогично

$\frac{m _{2}}{m _{2} + d _{2}} ⩽ \frac{7}{17} \Leftrightarrow 17 m_{2} ⩽ 7 m_{2} + 7 d_{2} \Leftrightarrow m_{2} ⩽ \frac{7}{10} d_{2} .$

Пусть в группе $M$ мальчиков и $D$ девочек. Ясно, что $d_{1} ⩽ D$ и $d_{2} ⩽ D$ . Каждый мальчик побывал хотя бы в одном месте, поэтому $M ⩽ m_{1} + m_{2}$ (мальчик, сходивший в оба места, посчитан справа дважды). Отсюда

$M ⩽ m_{1} + m_{2} ⩽ \frac{3}{5} D + \frac{7}{10} D = \frac{13}{10} D . (*)$

а) Да, могло. Пример: $6$ мальчиков ходили только в театр, $7$ мальчиков — только в кино, а $11$ девочек — и в театр, и в кино. Всего $6 + 7 + 11 = 24$ учащихся, из них $13$ мальчиков.

Театр посетили $17$ человек, из них $6$ мальчиков: $\frac{6}{17} ⩽ \frac{3}{8}$ , так как $6 \cdot 8 = 48 ⩽ 51 = 3 \cdot 17$ .

Кино посетили $18$ человек, из них $7$ мальчиков: $\frac{7}{18} < \frac{7}{17}$ .

Все условия выполнены.

б) Оценка. Если мальчиков $M$ , то девочек $D = 24 - M$ , и по $(*)$

$M ⩽ \frac{13}{10} (24 - M) \Leftrightarrow 10 M ⩽ 312 - 13 M \Leftrightarrow M ⩽ \frac{312}{23} = 13 \frac{13}{23} .$

Число $M$ целое, поэтому $M ⩽ 13$ . Смысл оценки такой: при $14$ мальчиках девочек не больше $10$ , тогда в театре могло быть не больше $\frac{3}{5} \cdot 10 = 6$ мальчиков, а в кино — не больше $\frac{7}{10} \cdot 10 = 7$ , и хотя бы один мальчик никуда не ходил.

Пример. В пункте а) построена группа из $24$ учащихся, в которой $13$ мальчиков. Значит, $13$ достигается.

в) Оценка. Девочки в группе есть: если $D = 0$ , то по $(*)$ и $M = 0$ . Из $(*)$ получаем $M + D ⩽ \frac{13}{10} D + D = \frac{23}{10} D$ , поэтому доля девочек

$\frac{D}{M + D} ⩾ \frac{D}{\frac{23}{10} D} = \frac{10}{23} .$

Пример. $6$ мальчиков ходили только в театр, $7$ мальчиков — только в кино, $10$ девочек — и туда, и туда. В театре $6$ мальчиков из $16$ человек: $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ . В кино $7$ мальчиков из $17$ человек: ровно $\frac{7}{17}$ . Условия выполнены, а доля девочек равна

$\frac{10}{6 + 7 + 10} = \frac{10}{23} .$

Ответ: а) да; б) $13$ ; в) $\frac{10}{23}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20