ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть на доске $m$ чисел оканчиваются на $6$, а остальные $30-m$ — на $2$. Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому она совпадает с последней цифрой числа

$$2(30-m)+6m=60+4m.$$

Сумма $2454$ оканчивается на $4$. Значит, $60+4m$ оканчивается на $4$, то есть $4m-4=4(m-1)$ делится на $10$. Тогда $2(m-1)$ делится на $5$, а так как $2$ и $5$ взаимно просты, $m-1$ делится на $5$. Итак,

$$m\text{даёт остаток}1\text{при делении на}5:m\in \{1;6;11;16;21;26\}.$$

а) Нет, не может. Если чисел на $2$ и на $6$ поровну, то $m=15$, а $15$ делится на $5$ без остатка — противоречие с найденным условием. По-другому: тогда сумма оканчивается на ту же цифру, что и $15\cdot 2+15\cdot 6=120$, то есть на $0$, а не на $4$.

б) Нет, не может. Пусть $m=1$, тогда остальные $29$ чисел различны и оканчиваются на $2$. Наименьшие $29$ таких чисел — $2,12,22,\dots ,282$. Это арифметическая прогрессия, её сумма

$$2+12+\dots +282=\frac{2+282}{2}\cdot 29=142\cdot 29=4118.$$

Значит, сумма любых $29$ различных чисел, оканчивающихся на $2$, не меньше $4118$, а вся сумма тем более больше $2454$. Противоречие.

в) Оценка. Мы доказали, что $m$ даёт остаток $1$ при делении на $5$, то есть $m=1$, $6$, $11$, … Случай $m=1$ невозможен по пункту б). Пусть $m=6$. Тогда $24$ различных числа оканчиваются на $2$, и их сумма не меньше

$$2+12+\dots +232=\frac{2+232}{2}\cdot 24=117\cdot 24=2808>2454.$$

Противоречие. Значит, $m⩾11$.

Пример. Пусть $m=11$. Возьмём $19$ чисел на $2$: $2,12,22,\dots ,182$, их сумма $\frac{2+182}{2}\cdot 19=92\cdot 19=1748$. Наименьшие $11$ чисел на $6$ — $6,16,\dots ,106$ — дают сумму $616$, вместе $1748+616=2364$, на $90$ меньше нужного. Поэтому число $106$ заменим на $196$:

$$2,12,22,\dots ,182;6,16,26,\dots ,96,196.$$

Проверим. Чисел $19+11=30$, все различны, каждое оканчивается на $2$ или на $6$. Сумма чисел $6,16,\dots ,96$ равна $\frac{6+96}{2}\cdot 10=510$, а общая сумма

$$1748+510+196=2454.$$

Все условия выполнены, на $6$ оканчивается $11$ чисел.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $11$.