ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Разберёмся с условием. Квадрат со стороной $a$ и прямоугольник шириной $a-7$ той же площади $a^2$ «парные»: по условию у каждого квадрата на столе есть парный прямоугольник, а у каждого прямоугольника — парный квадрат. Длина такого прямоугольника равна $\frac{a^2}{a-7}$.

Обозначим ширину прямоугольника $w=a-7$, это натуральное число. Тогда сторона квадрата $w+7$, а длина прямоугольника

$$L=\frac{(w+7{)}^2}{w}=\frac{w^2+14w+49}{w}=w+14+\frac{49}{w}.$$

Длина должна быть натуральной, поэтому $\frac{49}{w}$ — целое, то есть $w$ — делитель числа $49$: $w=1$, $w=7$ или $w=49$. Получаем три пары:

$$\begin{array}{ccc}w& \text{Квадрат}& \text{Прямоугольник}\\ 1& 8\times 8& 1\times 64\\ 7& 14\times 14& 7\times 28\\ 49& 56\times 56& 49\times 64\end{array}$$

Во всех трёх парах длина больше ширины, так что ширина названа правильно. Значит, на столе могут лежать только квадраты со сторонами $8$, $14$, $56$ и только прямоугольники $1\times 64$, $7\times 28$, $49\times 64$.

а) Если бы ширина прямоугольника была $28$, то у него был бы парный квадрат со стороной $35$, и длина равнялась бы $\frac{35^2}{28}=\frac{1225}{28}=43,75$ — не натуральное число. Это согласуется с тем, что $28$ не делит $49$. Ответ: нет.

б) Пусть на столе лежат ровно две фигуры: квадрат $14\times 14$ и прямоугольник $7\times 28$. Их площади равны: $14^2=196=7\cdot 28$. Ширина прямоугольника $7$ на $7$ меньше стороны квадрата $14$. Значит, у квадрата есть нужный прямоугольник, а у прямоугольника — нужный квадрат, и условие выполнено. Длина прямоугольника равна $28$. Ответ: да.

в) Оценка. Мы показали, что квадраты на столе могут быть только трёх видов, а прямоугольники — только трёх видов. Поэтому различных фигур не больше $6$.

Пример. Положим на стол все шесть фигур: квадраты $8\times 8$, $14\times 14$, $56\times 56$ и прямоугольники $1\times 64$, $7\times 28$, $49\times 64$. Проверим пары:

• $8^2=64=1\cdot 64$, и $1=8-7$;
• $14^2=196=7\cdot 28$, и $7=14-7$;
• $56^2=3136=49\cdot 64$, и $49=56-7$.

У каждого квадрата есть парный прямоугольник, у каждого прямоугольника — парный квадрат, так что все шесть фигур могут лежать на столе одновременно.

Ответ: а) нет; б) да; в) $6$.