ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Подготовка. Напомним связь НОД и НОК: $qd=xy$. Если $x=ds$, $y=dr$, где $s$ и $r$ взаимно просты, то $q=dsr$, и

$$\frac{q}{d}=sr=\frac{xy}{d^2}.$$

Найдём все натуральные решения уравнения $7x=16y-73$. Выразим $x$:

$$x=\frac{16y-73}{7}=2y-10+\frac{2y-3}{7}.$$

Число $x$ целое тогда и только тогда, когда $2y-3$ делится на $7$. Переберём остатки $y$ при делении на $7$: при остатках $0,1,2,3,4,5,6$ число $2y-3$ даёт остатки $4,6,1,3,5,0,2$. Подходит только остаток $5$: $y=7k+5$, где $k⩾0$ — целое. Тогда

$$x=\frac{16(7k+5)-73}{7}=\frac{112k+7}{7}=16k+1.$$

Итак, все натуральные решения: $x=16k+1$, $y=7k+5$, $k=0,1,2,\dots$

Найдём возможные $d$. Если $d$ делит $x$ и $y$, то $d$ делит и $16y-7x=73$. Число $73$ простое, поэтому $d=1$ или $d=73$.

а) Попробуем взаимно простые $x$ и $y$, тогда $\frac{q}{d}=xy$, и нужно $xy=204=2^2\cdot 3\cdot 17$. При $k=1$ получаем $x=17$, $y=12$. Проверим: $7\cdot 17=119$ и $16\cdot 12-73=192-73=119$. Числа $17$ и $12$ взаимно просты, поэтому $d=1$, $q=17\cdot 12=204$ и $\frac{q}{d}=204$. Ответ: да.

б) Разберём оба возможных значения $d$.

Случай $d=1$. Тогда $\frac{q}{d}=xy=(16k+1)(7k+5)⩾1\cdot 5=5>2$.

Случай $d=73$. Тогда $x=73s$, $y=73r$, где $s$ и $r$ взаимно просты, и $\frac{q}{d}=sr$. Подставим в уравнение и сократим на $73$:

$$7\cdot 73s=16\cdot 73r-73\iff 7s=16r-1.$$

Решаем так же, как раньше: $s=\frac{16r-1}{7}=2r+\frac{2r-1}{7}$, значит, $2r-1$ делится на $7$, то есть $r$ даёт остаток $4$ при делении на $7$. Тогда $r=7p+4$, $s=16p+9$, где $p⩾0$ (проверка: $7(16p+9)=112p+63=16(7p+4)-1$). Поэтому $\frac{q}{d}=sr⩾9\cdot 4=36>2$.

В обоих случаях $\frac{q}{d}>2$. Ответ: нет.

Можно убедиться и короче: если $sr=2$, то $s$ и $r$ — это $1$ и $2$. При $x=d$, $y=2d$ уравнение даёт $7d=32d-73$, $d=\frac{73}{25}$ — не целое; при $x=2d$, $y=d$ получаем $14d=16d-73$, $d<0$. Противоречие.

в) Оценка. В пункте б) мы доказали: при $d=1$ выполнено $\frac{q}{d}⩾5$, а при $d=73$ выполнено $\frac{q}{d}⩾36$. Других $d$ не бывает, поэтому всегда $\frac{q}{d}⩾5$.

Пример. При $k=0$: $x=1$, $y=5$. Проверка: $7\cdot 1=7=16\cdot 5-73$. Здесь $d=1$, $q=5$, и $\frac{q}{d}=5$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $5$.