ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Каждое слагаемое — число, записанное несколькими единицами: $1$, $11$, $111$, $1111$, $\dots$ Всего единиц $59$. Важное наблюдение: слагаемое из $j$ единиц не меньше $j$. Поэтому, сколько бы единиц ни осталось на остальные слагаемые, они добавят к сумме не меньше, чем их количество.

а) Если среди слагаемых есть $111$, то на остальные приходится $59-3=56$ единиц, и они дают не меньше $56$. Сумма тогда не меньше $111+56=167>122$. Слагаемые из четырёх и более единиц больше $122$ сами по себе. Значит, все слагаемые — это $1$ и $11$.

Пусть слагаемых $11$ ровно $x$, на них уходит $2x$ единиц, а остальные $59-2x$ единиц стоят по одной. Тогда

$$11x+(59-2x)=122\iff 9x=63\iff x=7.$$

Пример: $7$ слагаемых $11$ и $45$ слагаемых $1$. Единиц $7\cdot 2+45=59$, сумма $7\cdot 11+45=77+45=122$. Ответ: да.

б) Так же, как в пункте а), слагаемого $111$ быть не может: $111+56=167>123$. Значит, все слагаемые — $1$ и $11$, и

$$11x+(59-2x)=123\iff 9x=64.$$

Это уравнение не имеет целых решений. Ответ: нет.

Это видно и сразу. Число из $j$ единиц имеет сумму цифр $j$, поэтому даёт при делении на $9$ тот же остаток, что и $j$. Значит, при любой расстановке плюсов сумма даёт при делении на $9$ тот же остаток, что и $59$, то есть $5$. У числа $122=13\cdot 9+5$ остаток $5$, а у $123$ — остаток $6$.

в) Нужна сумма не больше $9999$, поэтому слагаемых из пяти и более единиц (они не меньше $11111$) нет. Пусть слагаемых $1111$ ровно $p$. Так как $9\cdot 1111=9999$, а $10\cdot 1111>9999$, то $p⩽9$.

Оценка. Все остальные слагаемые — это $1$, $11$ или $111$. Слагаемое из $j$ единиц, где $j⩽3$, не больше $37j$: $1<37$, $11<74$, $111=37\cdot 3$. Поэтому остальные слагаемые в сумме не больше $37$, умноженного на число ушедших на них единиц. Разберём случаи.

• $p=9$. На слагаемые $1111$ ушло $36$ единиц, остальные $23$ единицы добавят не меньше $23$, и сумма не меньше $9999+23>9999$ — не четырёхзначная.
• $p=8$. Остаётся $59-32=27$ единиц, они дают не больше $37\cdot 27=999$. Сумма не больше $8888+999=9887$.
• $p⩽7$. Остаётся $59-4p$ единиц, сумма не больше

$$1111p+37(59-4p)=2183+963p⩽2183+963\cdot 7=8924<9887.$$

Итак, любая четырёхзначная сумма не больше $9887$.

Пример. Возьмём $8$ слагаемых $1111$ и $9$ слагаемых $111$. Единиц $8\cdot 4+9\cdot 3=32+27=59$, сумма $8888+999=9887$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $9887$.