ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Обозначим количества камней в коробках через $x_1$, $x_2$, $x_3$. При ходе общее число камней не меняется, оно всегда равно $97+104=201$.

Инвариант. За ход в одной коробке становится на $2$ камня больше, а в двух других — на $1$ меньше. Посмотрим на разность количеств в двух коробках. Если обе коробки отдали по камню, разность не изменилась. Если одна получила $2$ камня, а другая отдала $1$, разность изменилась на $3$. Значит, остаток каждой разности при делении на $3$ не меняется.

Вначале:

• $x_1-x_2=97-104=-7=-9+2$ — остаток $2$;
• $x_2-x_3=104=102+2$ — остаток $2$;
• $x_1-x_3=97=96+1$ — остаток $1$.

а) Для набора $(97;89;15)$ сумма равна $201$, $x_1-x_2=8$ даёт остаток $2$, $x_2-x_3=74$ — остаток $2$, так что инвариант не мешает. Построим его.

Сделаем $10$ ходов, кладя камни в третью коробку (берём из первой и второй), затем $5$ ходов, кладя камни в первую (берём из второй и третьей):

$$\begin{array}{lccc}\text{Состояние}& I& II& III\\ \text{начало}& 97& 104& 0\\ \text{после 10 ходов в III}& 87& 94& 20\\ \text{после 5 ходов в I}& 97& 89& 15\end{array}$$

Во всех ходах коробки, из которых берём, непусты. Ответ: да.

б) Если в третьей коробке $201$ камень, то в первых двух по $0$, и $x_1-x_2=0$ — остаток $0$. Но эта разность всегда даёт остаток $2$. Ответ: нет.

в) Оценка. Пусть $x_1=1$. Тогда $x_2+x_3=200$, а разность $x_1-x_3=1-x_3$ должна давать остаток $1$ при делении на $3$. Значит, $x_3$ делится на $3$. Так как $x_3⩽200$, а $199$ и $200$ на $3$ не делятся, получаем $x_3⩽198$.

Пример. Сделаем $96$ ходов в третью коробку: $(97;104;0)\to (1;8;192)$.

Теперь заметим, что тройка ходов «в третью, в первую, в третью» не меняет первую коробку ($-1+2-1=0$), забирает $3$ камня из второй и добавляет $3$ в третью ($+2-1+2=3$). Сделаем её дважды:

$$(1;8;192)\to (0;7;194)\to (2;6;193)\to (1;5;195)\to (0;4;197)\to (2;3;196)\to (1;2;198).$$

На каждом шаге берём камни только из непустых коробок. Получили $1$ камень в первой коробке и $198$ в третьей.

Ответ: а) да; б) нет; в) $198$.