ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Числа на доске идут подряд, поэтому пять чисел, делящихся на $15$, — это пять последовательных кратных $15$: $15t$, $15(t+1)$, $\dots$, $15(t+4)$. Отсюда два вывода.

1. Набор содержит все числа от $15t$ до $15(t+4)=15t+60$, то есть не меньше $61$ числа.
2. Чисел $15(t-1)$ и $15(t+5)$ в наборе нет, иначе кратных $15$ было бы шесть. Значит, набор лежит между ними, то есть внутри отрезка от $15t-14$ до $15t+74$, и в нём не больше $89$ чисел.

Будем также пользоваться тем, что среди любых $k$ подряд идущих целых чисел ровно одно делится на $k$.

а) Пример: на доске числа от $16$ до $96$ включительно. Кратные $15$ среди них: $30,45,60,75,90$ — ровно пять ($15$ и $105$ не записаны). Кратные $16$: $16,32,48,64,80,96$ — шесть, то есть больше пяти. Ответ: да.

б) По выводу 1 на доске есть $61$ подряд идущее число $15t,\dots ,15t+60$. Первые $55$ из них разбиваются на $5$ блоков по $11$ подряд идущих чисел, и в каждом блоке есть число, кратное $11$. Значит, чисел, делящихся на $11$, не меньше пяти. Ответ: нет.

в) Оценка. Пусть больше пяти записанных чисел делятся на $k$. Тогда среди них есть шесть последовательных кратных $k$: $ks$, $k(s+1)$, $\dots$, $k(s+5)$. Числа идут подряд, поэтому записаны и все числа от $ks$ до $ks+5k$ — это $5k+1$ число. По выводу 2 чисел не больше $89$:

$$5k+1⩽89\iff k⩽\frac{88}{5}=17,6.$$

Значит, $k⩽17$.

Пример. Пусть на доске числа от $16$ до $104$ включительно ($89$ чисел). Кратные $15$: $30,45,60,75,90$ — ровно пять ($15$ и $105$ не записаны). Кратные $17$: $17,34,51,68,85,102$ — шесть, больше пяти. Значит, $k=17$ возможно.

Ответ: а) да; б) нет; в) $17$.