ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть $n$ студентов написали обе работы, а остальные $32-n$ — по одной. Тогда всего написано $32+n$ работ.

Средний балл по каждой работе равен $14$, значит, сумма баллов за первую работу равна $14$, умноженному на число её писавших, и так же для второй. Складывая, получаем: сумма баллов за все работы равна $14(32+n)$.

Введём обозначения: $a$ — сумма баллов студентов, писавших одну работу; $b$ — сумма больших баллов студентов, писавших обе работы; $c$ — сумма их меньших баллов. Названные баллы — это баллы первых и большие баллы вторых, поэтому

$$a+b=32S,a+b+c=14(32+n).$$

а) Из этих равенств $S<14$ означает $a+b<448$, то есть $c>14n$: меньшие баллы тех, кто писал обе работы, в среднем больше $14$.

Пример. Пусть $28$ студентов написали обе работы и получили за каждую по $15$ баллов, $2$ студента написали только первую работу на $0$ баллов и ещё $2$ — только вторую на $0$ баллов. Всего $28+2+2=32$ студента.

Первую работу писали $30$ человек, средний балл $\frac{28\cdot 15+2\cdot 0}{30}=\frac{420}{30}=14$; для второй работы так же. Названные баллы: $28$ раз по $15$ и $4$ раза по $0$, поэтому

$$S=\frac{28\cdot 15}{32}=\frac{420}{32}=13,125<14.$$

б) Пусть $S=11$ и обе работы написали только $n=2$ студента. Тогда $a+b=11\cdot 32=352$, а $a+b+c=14\cdot 34=476$, откуда $c=476-352=124$.

Но $c$ — сумма меньших баллов двух студентов, а каждый балл не больше $20$, поэтому $c⩽40<124$. Противоречие. Ответ: нет.

в) Пусть $S=11$, тогда $a+b=352$.

Оценка. Из второго равенства

$$c=14(32+n)-352=96+14n.$$

С другой стороны, $c$ — сумма $n$ баллов, каждый не больше $20$, то есть $c⩽20n$. Получаем

$$96+14n⩽20n\iff 6n⩾96\iff n⩾16.$$

Пример. Пусть $16$ студентов написали обе работы на $20$ баллов каждую, $8$ студентов — только первую на $2$ балла и $8$ — только вторую на $2$ балла. Всего $16+8+8=32$ студента.

Первую работу писали $24$ человека, средний балл $\frac{16\cdot 20+8\cdot 2}{24}=\frac{336}{24}=14$; для второй так же. Названные баллы: $16$ раз по $20$ и $16$ раз по $2$, их среднее

$$S=\frac{320+32}{32}=\frac{352}{32}=11.$$

Ответ: а) например, $28$ студентов написали обе работы на $15$ баллов каждую, $2$ — только первую на $0$ баллов, $2$ — только вторую на $0$ баллов; б) нет; в) $16$.