ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Ключевая идея пунктов а) и б): после добавления $5$ баллов в сдавшие переходит лучший из не сдавших. Он «уносит» из группы не сдавших свой высокий балл, и её среднее может упасть сильнее, чем вырасти от прибавки.

а) Пусть участников двое, у них $82$ и $2$ балла. Оба не сдали ($82<83$), их средний балл $\frac{82+2}{2}=42$.

После добавления у них $87$ и $7$ баллов. Первый сдал, количество сдавших выросло с $0$ до $1$. Не сдал только второй, и средний балл не сдавших стал $7<42$. Ответ: да, мог понизиться.

б) Добавим к примеру из пункта а) ученика, который сдал тест сразу, пусть у него $x⩾83$ баллов. Тогда средний балл сдавших был $x$, а после добавления стал

$$\frac{(x+5)+87}{2}=\frac{x}{2}+46.$$

Он понизится, если $\frac{x}{2}+46<x$, то есть $x>92$. Возьмём $x=94$.

Пример: у учеников $94$, $82$ и $2$ балла. Сначала сдал один ($94$), средний балл сдавших $94$; не сдавших — $\frac{82+2}{2}=42$. После добавления баллы $99$, $87$, $7$: сдавших стало двое, их средний балл $\frac{99+87}{2}=93<94$; не сдал один, его балл $7<42$. Оба средних понизились, количество сдавших увеличилось. Ответ: да.

в) Пусть всего $N$ участников, сначала сдали $a$ из них, а после добавления — $b$.

Оценка. Сумма баллов всех участников сначала равна $90N$. С другой стороны, она складывается из суммы сдавших $100a$ и суммы не сдавших $75(N-a)$:

$$90N=100a+75(N-a)\iff 15N=25a\iff 3N=5a.$$

После добавления каждому по $5$ баллов сумма выросла на $5N$, поэтому средний балл всех стал $95$. Аналогично

$$95N=103b+79(N-b)\iff 16N=24b\iff 2N=3b.$$

Из $3N=5a$ следует, что $3N$ делится на $5$; так как $3$ и $5$ взаимно просты, $N$ делится на $5$. Из $2N=3b$ аналогично $N$ делится на $3$. Значит, $N$ делится на $15$, и $N⩾15$.

Пример. При $N=15$ получаем $a=9$, $b=10$: в сдавшие перешёл ровно один ученик. До добавления у него было от $78$ до $82$ баллов (меньше $83$, но с прибавкой не меньше $83$).

Пусть девять сдавших сразу набрали по $100$ баллов — их средний $100$. После добавления у них по $105$, и средний балл десяти сдавших должен быть $103$:

$$9\cdot 105+(c+5)=103\cdot 10\iff c+5=85\iff c=80.$$

Значит, перешедший ученик набрал $80$ баллов. Сначала не сдавших было шестеро с суммой $75\cdot 6=450$, поэтому остальные пятеро набрали вместе $450-80=370$ — пусть по $74$ балла.

Проверим все условия для баллов: девять по $100$, один $80$, пять по $74$.

• Средний балл всех: $\frac{900+80+370}{15}=\frac{1350}{15}=90$.
• Сначала сдали девять учеников по $100$ — средний $100$; не сдали $80$ и пять по $74$ — средний $\frac{80+370}{6}=75$.
• После добавления: девять по $105$ и $85$ — это сдавшие, их стало $10>9$, средний $\frac{945+85}{10}=103$; не сдали пять учеников по $79$ — средний $79$.

Все условия выполнены, значит, $15$ участников быть могло.

Ответ: а) да; б) да; в) $15$.